南京大学数学分析考研试题及解答.docx

南京大学20KK 年数学分析考研试题
一设()f x 为1R 上的周期函数，且lim ()0x f x →+∞
=，证明f 恒为0。 二设定义在2R 上的二元函数(,


南京大学20KK 年数学分析考研试题
一设()f x 为1R 上的周期函数，且lim ()0x f x →+∞
=，证明f 恒为0。 二设定义在2R 上的二元函数(,)f x y 关于x ，y 的偏导数均恒为零，证明f 为常值函数。
三设()n f x (1,2,...)n =为n R 上的一致连续函数，且lim ()()n n f x f x →∞
=，1x R ?∈， 问：()f x 是否为连续函数？若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。 四是否存在[0,1]区间上的数列{}n x ，使得该数列的极限点（即聚点）集为[0,1]，把极限点集换成(0,1)，结论如何？请证明你的所有结论。
五设()f x 为[0,)+∞上的非负连续函数，且0()f x dx +∞
(1,2,...)n =，1n n k k S a ==
∑，证明：级数21n n n a S ∞=∑是收敛的。 十方程2232327x y z x y z +++-=在(1,2,1)-附近决定了隐函数(,)z z x y =，求2(1,2)z x y
?-??的值。 十一求函数333(,,)f x y z x y z =++在约束条件2x y z ++=，22212x y z ++=下的极值，
并判断极值的类型。


十二设1[0,1]f C ∈，且(0)(1)0f f ==，证明：112
200
1[()][()]4f x dx f x dx '≤??。 十三设()f x 为[0,]π上的连续函数，且对任意正整数1n ≥，均有 0()cos 0f x nxdx π
=?，证明：f 为常值函数。
南京大学20KK 年数学分析考研试题解答
一证明设()f x 的周期为T ，0T >，则有()()f x nT f x +=，由条件知，
()lim ()0n f x f x nT →∞
=+=， 结论得证。 二证明因为0f x
?=?，0f y ?=?， f x ??，f y
??在2R 上连续，对任意2(,)x y R ∈，有 (,)(0,0)f x y f -(,)(,)f f x y x x y y x y
θθθθ??=?+???0=， 所以(,)(0,0)f x y f =，即(,)f x y 为常值函数。
三解()f x 未必为连续函数。
南京大学20KK 年