归结原则的应用(老黄学高数第98讲)ppt课件.ppt

老黄学高数
第98讲
归结原则的应用
练****br/>1、设f在U⁰(x0)内有定义. 证明：
极限 f(xn)都存在，则所有这些极限都相等.
记数列{zn}：x1,y1,x2,y2…,xn老黄学高数
第98讲
归结原则的应用
练****br/>1、设f在U⁰(x0)内有定义. 证明：
极限 f(xn)都存在，则所有这些极限都相等.
记数列{zn}：x1,y1,x2,y2…,xn,yn,…，
∵{xn},{yn}都是{zn}的子列，
若对任何数列{xn}⊂U⁰(x0)且 xn=x0，
证：设{xn}, {yn} ⊂U⁰(x0)且 xn= yn=x0，
则{zn}⊂U⁰(x0)且 zn=x0，∴ f(zn)存在.
∴
f(xn) = f(yn)，原命题得证.
练****br/>1、设f在U⁰(x0)内有定义. 证明：
极限 f(xn)都存在，则所有这些极限都相等.
记数列{zn}：x1,y1,x2,y2…,xn,yn,…，
若对任何数列{xn}⊂U⁰(x0)且 xn=x0，
证：设{xn}, {yn} ⊂U⁰(x0)且 xn= yn=x0，
若 f(zn)不存在.
则{zn}⊂U⁰(x0)且 zn=x0，
则 f(xn)≠ f(yn)，
此时 f(x)不存在.
练****br/>2、证明：
∵f为周期函数，设最小正周期为T，
证：若存在x0∈R，使f(x0)≠0.
若f为R上的周期函数，且 f(x)=0，则f(x)≡0.
记xn=x0+nT，则 f(xn)=f(x0)≠0 (1)
又xn→+∞ (n→∞)，且 f(x)=0，
由归结原则知 f(xn)=0 (2)
可见(1)(2)矛盾，∴f(x)≡0.
猜想
1、当x→+∞(或-∞)时，周期函数f的极限存在，
∵f为周期函数，设最小正周期为T，
若存在x0∈R，使f(x0)≠A.
记xn=x0-nT，则 f(xn)=f(x0)≠A (1)
由归结原则知 f(xn)=A (2)
可见(1)(2)矛盾，∴f(x)≡A.
则f必为常量函数.
证：设f为R上的周期函数，且 f(x)=A，
又xn→-∞ (n→∞)，且 f(x)=A，
练****br/>3、设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x)且
∵f(x0)=f(2x0)=f(4x0)=…=f(2nx0)=…=B
证：设有x0∈(0,+ ∞)，使f(x0)=B≠A，
f(x)=A，证明：f(x)≡A(x∈(0,+ ∞)).
对数列{2nx0}，有 f