IKS高中二年级数学 诱导公式.ppt

§ 诱导公式
一、复习:终边相同的角的三角函数的值相等(公式一)
sin(°+α)=sinα cos(°+α)=cosα
tan(°+α)=tgα cot(°+α)=ctgα(k∈α)
二、学习目的:
在初中求 0°—— 90°间角的三角函数值,可以通过查表;利用公式一,可以把求任意角的三角函数值转化为求0°—— 360°间的角的三角函数值。
因此,如果能把求90° ——360°间的角的三角函数值转化为求0°—— 90°间的角的三角函数值,那么就可以求任意角的三角函数值了。
三、角度之间的关系
设0°≤α≤ 90°,那么
90°— 180°间的角,可以写成180°- α或90°+α
180°— 270°间的角,可以写成180°+α或270°-α
270°— 360°间的角,可以写成360°- α或-α或 270°+α
为使讨论具有一般性,这里假定α为任意角。
下面依次讨论180°+α, -α,180°- α, 360°-α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系。
对于90°—360°的角,可用下面的形式来表示:
1、形如180°+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
单位圆:以原点为圆心,等于单位长的线段为半径作一个圆
1
-1
1
-1
已知任意角α的终边与这个圆相交与点p(x,y),由于角180°+α的终边就是角α的终边的反向延长线,角180°+α的终边与单位圆的交点p‘(-x,-y),又因单位圆的半径 r=1,由正弦线和余弦线的定义得到:
α
180°+α
因此 sin(180°+α)= - sinα cos(180°+α)= - cosα
p(x,y)
p'(-x,-y)
sinα= y cosα= x sin(180°+α)= -y cos(180°+α)= -x
x
o
y
又根据同角三角函数间的基本关系式,有
于是我们得到一组公式(公式三)
sin(180°+α)=-sinα cos(180°+α)=-cosα
tan(180°+α)=tanα cot(180°+α)=cotα
2、形如-α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
1
-1
1
-1
任意角α的终边与这个圆相交与点p(x,y),角-α的终边与单位圆的交点p‘(x,-y),又因单位圆的半径 r=1,由正弦线和余弦线的定义得到:
α
因此 sin(-α)= - sinα cos(-α)= cosα
p(x,y)
sinα= y cosα= x
sin(-α)= -y cos(-α) = x
x
o
y
于是我们得到一组公式(公式五)
sin(-α)= -sinα cos(-α)=cosα
tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα
p'(x,-y)
-α
M
3、形如180°-α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
利用公式三和公式五,可以推出,当α为任意角时:
sin(180°-α)= sin〔180°+(-α)〕= -sin(-α)=sinα
cos(180°-α)= cos〔180°+(-α)〕= -cos(-α)= -cosα
tan(180°-α)= tan〔180°+(-α)〕= tan(-α)= -tanα
cot(180°-α)= cot〔180°+(-α)〕= cot(-α)= -cotα
于是我们得到一组公式(公式二)
sin(180°-α)=sinα cos(180°-α)= -cosα
tan(180°-α)= -tanα cot(180°-α)= -cotα
4、形如360°-α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
利用公式一和公式五,自己推出:
于是我们得到一组公式(公式四)
sin(360°-α)= -sinα cos(360°-α)= cosα
tan(360°-α)= -tanα cot(360°-α)= -cotα
公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式:
sin(°+α)= sinα cos(°+α)= cosα
tan(°+α)= tanα cot(°+α)= cotα(k∈α)
公式一
公式三
sin(180°+α)= -sinα cos(180°+α)=-cosα
tan(180°+α)= tanα cot(180°+α)=cotα
公式五
sin(-α)= -sinα cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα
公式二
公式四
sin(180°-α)= sinα cos(180°-α)= -cosα
tan(180°-