杆件结构的有限元法.ppt

有限元理论与应用
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第一篇 有限元法
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第一篇 有限元法
第二章 杆件结构的有限元法
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当结构长度尺寸比两个截面方向的尺寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中常见得轴、支柱、 知道单个弹簧的刚度矩阵－－直接叠加出多个串联系统的总刚度矩阵。
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知道单个弹簧单元的刚度矩阵，直接叠加出总刚度矩阵
对整个系统来说有3个节点，将上述方程扩大成3阶方程：
整个系统有3个节点（位移），将上述方程扩大成3阶方程，
按矩阵相加原理将两式叠加，
（2－9）
矩阵扩大办法
单元数量增多时，相应扩大后的矩阵就相当大，扩大后的非零元素在矩阵的什么位置，概念上就不很清楚了。
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按节点号将相应单元的刚度矩阵中元素kij写到总刚度矩阵中的办法来叠加。
以上面两个弹簧系统为例，系统共三个节点，每个节点有一个自由度，因此，该系统总刚度矩阵应该是3×3阶的矩阵。第1个单元的节点号为1和2，则单元刚度矩阵
中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第2行的第1列，第2列
第2个单元的节点号为2和3，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵的第2行、第3行的第2列、第3列元素上
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三、方程求解（约束条件的引入）
由式（2－6）和式（2－8）可知，刚度矩阵是一个奇异阵，即它的行列式的值为零，矩阵的逆不存在。对应线性代数方程组式（2－7）和式（2－9）无定解。物理概念解释：对整个系统的位移u1、 u2和 u3，没有加以限制，从而在任何外力的作用下系统会发生刚体运动。
u1＝u2＝ u3＝u,且u没有定值，所以方程无定解。
为使方程组有定解，只需给系统加上一定的约束（称为约束条件或边界条件）
例如：两弹簧系统，节点1固定不动，有u1＝0，则式（2－9）成为
从而可得到定解。通过解上述方程可得到各个节点的位移，利用已求得的位移就可计算出每个弹簧所受力的大小。
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弹簧1－2受力 pa＝ka×（弹簧1－2长度的变化量） pa＝ka×（u2-u1）
有限元方法求解弹簧系统受力问题的基本步骤：
①形成每个单元的刚度矩阵
②各个单元的刚度矩阵按节点号叠加成整体系统的刚度矩阵
③引入约束条件
④以节点位移为未知量求解线性代数方程组
⑤用每个单元的力－位移关系求得单元力。
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2－3 杆件系统的有限元法
一、铰支杆系统的有限元计算格式
上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解受轴向力的杆件系统。
均质等截面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得
均质等截面铰支杆的力－位移方程可写为
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坐标变换
为建立整个结构的刚度矩阵，需要在一个共同的统一坐标系
（即总体坐标系）中建立平衡方程。由于刚架各单元的空间
位置不同，各个单元的局部坐标系一般也不相同。
实际杆件系统都是互相成一定角度排列的杆件连接在一起的
每个杆件的单元坐标系统
所有杆件的都适用的整体坐标系统
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1
2
对应局部坐标，x，y对应整体坐标系统
对应局部坐标系的位移和作用力，
对应整体坐标系的位移和作用力。
注意：(1)图中 角是从整体坐标系x轴正向起算逆时针转到杆件方向。
（2）铰支连接的杆中能承受轴向力 和产生轴向位移 ,因此局部坐标系下 ， 。
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方便矩阵运算，将力和位移的矩阵用四阶方程表示：
将上式从局部坐标系转换到整体坐标系，表示为：
类似地可写出节点2处的表达式。
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令 ， ，则节点力的变换关系为
（2－13）
或
称为变换矩阵。
与力的坐标变换式类似，斜杆在两节点的位移有同样的坐标变换式
（2－14）
利用式（2－13）和式（2－14）可以把局部坐标系下方程（2－12）表示成
整体坐标系下的方程。－－整体坐标系下单元的刚度矩阵。
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用 左乘上式两边
（2－15）
再将式（2－14）代入式（2－15），有
单元刚度矩阵 在整体坐标系下的表达式可以用局部坐标系下的表达式求出，
（2－16）
将式（2－13）代入式（2－12）有
有
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求解整体坐标系下结构受力与位移方程组
可得到各节点的位移。从而可求出每根杆的受力。
i，j——整体坐标系中任一杆单元的两个节点号。
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二、刚阵存储与节点排列n根杆件的桁架，刚度矩阵的阶次就是2n×2n阶。压缩刚度矩阵的存储。稀疏性——大量零元素不存入计算机对称性