IASK高考数学一轮复习对点提分专题86直线与椭圆位置关系.doc

第八篇平面解析几何
.6直线与椭圆位置关系




然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.
(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]
＝
1
2
1＋2[（y1＋y2）－4y1y2](k为直线斜率).
k
2
2
【训练
1】(1)(一题多解)已知斜率为2的直线经过椭圆
x＋y＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，
5
4
则弦AB的长为________.
(2)(一题多解)(2019广·东五校调研)若椭圆的中心在原点，
一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得
弦的中点的纵坐标为
1，则这个椭圆的方程为
(
)
x2＋y2＝1
＋y2＝1

20
4
12
2
2
2
2
x＋y＝1
＋y＝1

8
8
12
【答案】
(1)55
(2)D
3
【解析】
(1)法一
由题意知，椭圆的右焦点
F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)，
y＝2（x－1），
由x2
y2
＝1
消去y，得3x2－5x＝0，
＋
4
5
故得A(0，－2)，B
5，4，则
3
3
2
2
5
4
5
5
|AB|＝
0－3＋－
2－3＝
3.
法二
由题意知，椭圆的右焦点
F1的坐标为(1，0)，
直线AB的方程为y＝2(x－1)，
y＝2（x－1），
消去y得3x2－5x＝0，
由x2
y2
＝1，
＋
4
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
5
则x1＋x2＝3，x1x2＝0，
则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2
＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]
（1＋22）5
2
55
＝
－4×0
＝
.
3
3







法一∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，
y2x2
∴设椭圆方程为b2＋4＋b2＝1(b>0)，
22
x
由b2＋4＋b2＝1，消去x，y＝3x＋7
得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，
设直线y＝3x＋7
与椭圆相交所得弦的端点分别为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知
y1＋y2
＝1，
2