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DeMorgen法则在反证法中应用.doc


文档分类:文学/艺术/军事/历史 | 页数:约5页 举报非法文档有奖
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De Morgen法则在反证法中应用
摘 要:在数学证明中,有时按常规思路从正面思 考难以解决问题,而如果运用反证法,逆向思考,则可以化 繁为简,化难为易.对命题结论的正确否定是运用反证法的 关键一步,但这并非我们想象的那么简单.本文介绍一个重 要的定律 De Morgen法则,它可以帮助我们快速而正确 地对原命题进行“反设”.
关键词:反证法De Morgen法则应用
我们在解数学题的过程中,经常用到这样一种方法:先 假定某结论的反面成立,并把这结论的反面成立作为已知条 件,再进行正确的逻辑推理,使之导出一个与已知条件、已 知公理、定理、法则、已证明为正确的命题等相矛盾的结果, 从而肯定原结论成立,使命题获得证明.
例1:已知:a、b、c、d均为实数,且ab=2 (c+d),求 证:方程x+ax+c=0与方程x+bx+d=0中至少有一个方程有实 根.
证明:假定上述两个方程都没有实根
所以已知的两个方程中至少有一个方程有实根.
以上这种方法在数学中被称为反证法.
一、反证法及其在数学证明中的作用
反证法在思维分析和数学证明中有着极其广泛的应用.
历史上,英国著名数学家西尔维斯特在他晚年提出的问题: 平面上n (nN3)个已知点不全在一条直线上,证明:总可 以找到一条直线,使它只通n过个点中的两个点.这个历经 半个世纪都无人解决的难题被一个“无名小卒”用反证法 轻而易举地解决了.
从反证法的定义可以看到反证法有如下特征:
反证法,开宗明义第一步,总是对所证命题结论的否 定,这是反证法区别于其他证明方法最显著的特点之一,没 有对命题结论的正确否定,就不是反证法.
“对命题结论的否定”,我们通常称之为“反设”, 把“反设”作为已知条件,并把此条件运用于推理中,这是 反证法的又一特点.反之,如果不以“反设”为已知条件, 而是作与“反设”无关的推理,那么这样的证明方法就不能 叫做反证法.
由此可以看出,“反设"是应用反证法的第一步,也是 重要的一步.只有正确地叙述了一个命题的否命题,反证法 的证明才可能是完备的,无懈可击的.
De Morgen法则在叙述一个命题的否命题时有重要的作 用.下面我们了解一下什么是De Morgen法则.
二、De Morgen法则及其在反证法中的运用
设有集合族{A} a £1,我们定义其并集与交集如下:
A= {x: ?蜗 ct GI, xWA}
A=(x: ?全 Q El, xEA}
De Morgen法则是对于集合而言的,设A为一个命题, xEA表不A对x为真,由上面的定义可看出,如果存在aWI, 使A对x为真,则可用xWA表示,同样,如果对一切a , A 对x为真,可写成xWA,这样,许多数学命题都可用集合的 交集、并集、余集给出.例如:例1的结论用集合语言可表 示为{x: x+ax+c=0} U {x: x+bx+d=0}尹?准,根据 De Morgen 法则,其否命题应该是{x: x+ax+c=0) Pl {x: x+bx+d=0)=R, 下面我们看一些较复杂的例子.
例2:叙述数列{a}不收敛
数列{a}收敛的8-N定义为:
?蜗 aWR, ?盆 8 >0, ?蜗 NW/N, ?盆 n>N,
用集合的交集、并集、余集形式把它叙述出来:
用De Morgen

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  • 上传人小健
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  • 时间2022-05-20