112余弦定理导学案(必修五).docx

§ 余弦定理
—• 学****目标
掌握余弦定理的两种表示形式；
证明余弦定理的向量方法；
运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
二、学****过程
三、课前准备
一、阅读教材在P5—P7页，完成以下问题：
•正弦定理：孟
§ 余弦定理
—• 学****目标
掌握余弦定理的两种表示形式；
证明余弦定理的向量方法；
运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
二、学****过程
三、课前准备
一、阅读教材在P5—P7页，完成以下问题：
•正弦定理：孟=佥=Sifc=2R的常见变形：
sin A : sin B : sin C= ；
a b c a+b+c
sin A = sin B=sin C=sin A + sin B+sin C= ；
a= ， b= ， c= ；
sin A= ， sin B= ， sin C= .
• 三角形面积公式：S= = = =
预****课本完成以下公式
a2 = b 2 = c 2 =
cos A= cos B= cosC = 复****2：在△ABC中，已知c = 10 , A=45。，C=30。，解此三角形.
思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？
四、新课导学
如图 1. 1-4,在 A ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b和Z C,求边c
(图1. 1-4)［探索研究］ 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
A
C a B
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
2
c 2 二c ・ c.
亠（a^— b X — J
如图 1 • 1-5，设CB = a， CA = b， AB = c，那么 c = a — b
=a ・ a + b ・ b — 2a ・ b
a” |b|2 — 2a ・ b
从而
C2 ■= a2 + b2 — 2abcosC
（图 1. 1-5）
同理可证
a2 = b 2 + c 2 — 2bc cos A
b 2 = a2 + c 2 — 2ac cos B
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。 即 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出 一角？
(由学生推出)从余弦定理，又可得到以下推论：cos A = cos B=
cosC =
例 A ABC 中，已知 a=2^3 , c =<6 +、迈,B=600，求 b 及 A
例 △ ABC 中，BC = a , AC = b，且a , b 是方程x2 - 2、2x + 2 = 0 的两根，2cos（A + B）= 1。
(1)求角C的度数；
2)求 AB 的长； (3)求厶ABC的面积。
［理解定理］
(1)若 c=90°，则 cos C = ，这时 c2 = a2 + b2
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.
( 2 )余弦定理及其推论的基本作用为：
已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
已知三角形的三条边就可以求出其它角.