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模糊数学方法及其应用论文题目: 模糊聚类方法案例分析小组成员: 王季光宋申辉兰洁陈倩芸肖仑杨洋吴云峰 2013 年 10月 27日模糊聚类分析方法 (或指标)进行分类,就需要研究样品之间关系。目前用得最多的方法有两个:一种方法是用相似系数,性质越接近的样品,它们的相似系数的绝对值越接近 1,而彼此无关的样品,它们的相似系数的绝对值越接近于零。比较相似的样品归为一类,不怎么相似的样品归为不同的类。另一种方法是将一个样品看作 P维空间的一个点,并在空间定义距离,距离越近的点归为一类,距离较远的点归为不同的类。但相似系数和距离有各种各样的定义,而这些定义与变量的类型关系极大,因此先介绍变量的类型。由于实际问题中,遇到的指标有的是定量的(如长度、重量等) ,有的是定性的(如性别、职业等),因此将变量(指标)的类型按以下三种尺度划分: 间隔尺度:变量是用连续的量来表示的,如长度、重量、压力、速度等等。在间隔尺度中,如果存在绝对零点,又称比例尺度,本书并不严格区分比例尺度和间隔尺度。有序尺度:变量度量时没有明确的数量表示,而是划分一些等级,等级之间有次序关系,如某产品分上、中、下三等,此三等有次序关系,但没有数量表示。名义尺度:变量度量时、既没有数量表示,也没有次序关系,如某物体有红、黄、白三种颜色,又如医学化验中的阴性与阳性,市场供求中的“产”和“销”等。不同类型的变量,在定义距离和相似系数时,其方法有很大差异,使用时必须注意。研究比较多的是间隔尺度,因此本章主要给出间隔尺度的距离和相似系数的定义。设有 n 个样品,每个样品测得 p 项指标(变量),原始资料阵为 xxxnp nn p pnxxx xxx xxxX X XX 21 222 21 112 11 2 1 ???????????????????????其中( 1, , ; 1, , ) ij x i n j p ? ?? ?为第 i 个样品的第 j 个指标的观测数据。第i 个样品 iX 为矩阵 X 的第 i 行所描述,所以任何两个样品 XK 与 XL 之间的相似性,可以通过矩阵 X 中的第 K 行与第 L 行的相似程度来刻划;任何两个变量 Kx 与 Lx 之间的相似性,可以通过第 K 列与第 L 列的相似程度来刻划。 定义设)(UUFR??,如果具有自反和对称关系,则称 R 为U 上的一个 F 相似关系( F 表示模糊) 当论域 U 为有限时,F 相似关系可以用 F 矩阵表示。具有 F相似关系的矩阵, 称为 F 相似矩阵。在实际应用时,通常只能得到自反矩阵和对称举证,即相似矩阵。现在的问题是对具有相似关系的元素怎样进行分类,也就是如何将相似矩阵改造为等价矩阵。 定理若 T R R ?,则称 R 为对称矩阵。(1) 若 R I ?(I 是单位矩阵),则称 R 为自反矩阵。(2) 若 2 R R ?,则称 R 为传递的 F 关系。(3) 若满足上面三点则称为等价矩阵。定理 1:相似矩阵 n n R u ??的传递闭包是等价矩阵,且 n R R ??。证只需要证明 R ?是自反的、对称的。因R 是自反的,故 R I ?, 2 R R ?。不难得到 nR 不减,因此 1 n k