西电计算方法大作业.doc

科目: 计算方法授课老师: 史林学院: 电子工程学院专业: 电子信息工程学生姓名: 学号: 切触有理插值函数的新算法 021213 班濮明磊 021212 34 一、新算法优点切触有理插值函数的算法大都是基于连分式进行的,其算法的可行性大都是有条件的,且有理函数次数较高,计算量较大。本文利用拉格朗日插值的性质和分段组合的方法,给出了一种新的切触有理插值算法,并给出误差估计且将其推广到向量值切触有理插值情形。较之其他算法具有有理函数次数较低、计算量较小、算法无条件性、无极点、满足高阶导数插值条件等优点。二、算法分析给定 1?n 个互异的节点?? ixbxxxxa n?????... 210( ) 所谓的切触有理插值问题,就是寻求有理函)( )(xq xp 使之满足下列条件 niskfxq xpdx d i kixx k,..., 1,0;1,..., 1,0,)( )(???????????????????( ) 所谓的向量值切触有理插值问题,就是寻求向量值有理函数)( ))( ),..., ( ),(()( )()( 21xQ xnxnxnxQ xNxr d??使得niskVxQ xNdx d i kixx k,..., 1,0;1,..., 1,0,)( )( )(???????????????????( ) 其中)(xQ 和),..., 1,0 )((njxn j?是实系数多项式。利用拉格朗日插值的性质和分段组合方法,构造出一种计对 3? is 的切触有理插值算法并将其推广到向量值切触有理插值情形,既解决了切触有理插值函数的存在性问题,又降低了切触有理插值函数的次数且计算量较低。三、切触有理插值公式为了建立 3? is 的切触有理插值公式利用文间中的方法, 引入非负整数)0(ndd??将节点( )按 dnixxx diii????,..., 1,0,,..., , 1( ) 进行分组,对每组节点( )和函数值 if 及导数值),..., 1,;2,1(diiijkf ki????所做的插值多项式记为)( ,xp di。根据定理 1可知多项式)( ,xp di是唯一确定的且次数为 23?d ,对剩下的节点 ndidiixxxxxx,..., ,,,..., , 21110?????做如下形式的 dn33?次代数多项式?????????? 101 3)()()( ij ndik kiixxxxx?( ) 令???? dni ixxq 0)()(?() 记dnixq xx ii???,..., 1,0,)( )()( ??( ) 显然)(x i?是????????dn dn3 3 型有理函数。利用)(x i?和)( ,xp di做线性组合??????????? dni i dni dii dni diix xpxxpxxr 0 0 ,0 ,)( )()()()()(???( ) 不难看出?????????dn nxr3 23)( 型有理函数。定理 1 对所有的非负整数)0(ndd??,由式( )给出的)(xr 是满足下列插值条件),..., 1,0;2,1,0()( )()(nikfxr kii k???且分母多项式 0)(?xq 。证设被插值的函数为)(xf ,则?????????