西电计算方法大作业.doc

切触有理插值函数的新算法
一、新算法优点
切触有理插值函数的算法大都是基于连分式进行的, 其算法的可行性大都是有条件的,且有理函数次数较高,计算量较大。本文利用拉格朗日插值的性质和分段组合的方法,给出了一种新的切触有理插值算法,并给出误差估计且将其推广到向量值切触有理插值情形。较之其他算法具有有理函数次数较低、计算量较小、算法无条件性、无极点、满足高阶导数插值条件等优点。
二、算法分析
给定个互异的节点
()
所谓的切触有理插值问题,就是寻求有理函使之满足下列条件()
所谓的向量值切触有理插值问题,就是寻求向量值有理函数

使得
()
其中和是实系数多项式。
利用拉格朗日插值的性质和分段组合方法,构造出一种计对的切触有理插值算法并将其推广到向量值切触有理插值情形,既解决了切触有理插值函数的存在性问题,又降低了切触有理插值函数的次数且计算量较低。
三、切触有理插值公式
为了建立的切触有理插值公式利用文间中的方法, 引入非负整数将节点()按
()
进行分组,对每组节点()和函数值及导数值
所做的插值多项式记为。根据定理1可知多项式是唯一确定的且次数为,对剩下的节点做如下形式的次代数多项式
()
令
()
记
()
显然是型有理函数。利用和做线性组合
()
不难看出型有理函数。
定理1 对所有的非负整数,由式()给出的是满足下列插值条件且分母多项式。
证设被插值的函数为,则
()
当时,,否则,所以在节点()处式()的值为零,故可得。
设并根据求导公式得
()
()
当时,,否则,,所以在节点()处式(),()的值为零,故可得。
()
()
当时,,否则,,所以在节点()处式(),()的值为零,故可得满足
利用和做线性组合
()

定理2 对所有非负整数,由式()给出的向量值有理函数满足插值条件且分母多项式
事实上,将文中定理中的函数换成向量,采用类似的方法即可证明。
式()和(2.