圆锥曲线的定义、方程和性质知识总结及试题.doc

捕圆的定义、性质及标准方程
椭圆的定义：
⑴第一定义：平面内与两个定点乌、E的距离之和等于常数（大于I鸟&|）的点的轨迹叫 做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线/
2 2 2 2
双曲线，例：A一仁=1的共轴双曲线是仁=—1。
a2 b- tr b-
双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共 轴双曲线；②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。
抛物线标准方程与几何性质
一、抛物线定义的理解
平面内与一个定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F为抛物 线的焦点，定直线/为抛物线的准线。
注：①定义可归结为“一动三定”：一个动点设为M； 一定点F （即焦点）；一定直线/ （即准线）；一定值1 （即动点M到定点F的距离与它到定直线Z的距离之比1）
定义中的隐含条件：焦点F不在准线/上。若F在/上，抛物线退化为过F且垂直于 I的一条直线
圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F和定直线/的距离之比为常数e的点的轨迹, 当0 <e< 1时，表示椭圆；当e>l时，表示双曲线；当e = l时，表示抛物线。
抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛 物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通 过这种转化使问题简单化。
二、 抛物线标准方程
抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直 角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简 单，便于应用。
四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此 抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为：y2 =±2p^p>0）, 亍=±2〃乂/? > 0）,其中：
参数p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正值；p值越大， 张口越大；已等于焦点到抛物线顶点的距离。
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标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边 一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对 称轴为X轴时，方程中的一次项变量就是X,若X的一次项前符号为正，则开口向右，若X的 一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为y轴时，方程中的一次项变量就是y ,当y的 一次项前符号为正，则开口向上，若y的一次项前符号为负，则开口向下。
三、 求抛物线标准方程
求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线 标准方程.
待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就 能解出待定系数P，因此要做到“先定位，再定值”。
注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为y2=ax或 %2 = ay,这样可避免讨论。
'抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是 标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。
四、抛物线的简单几何性质
方程
设抛物线y2 =2pj{p> 6)
性质
焦点
范围
对称性
顶点