圆锥曲线的经典结论.docx

有关解析几何的经典结论
一、椭圆
点F处的切线PT平分APRE在点P处的外角.（椭圆的光学性质）
PT平分醇F[F?在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆, 除去长轴的两个端点.（中位线）
以焦点弦PQ。乌.（同上）
2 2
双曲线亳—当=1（3＞0，＞0）的焦半径公式： R（—G。），％（G。）
a b
当M（x0,y0）在右支上时，|"J |=ex0 +a, \MF2 \=ex0-a.
当 M（x0,y0）在左支上时，| MFX |= -ex0 +a, | MF21= -ex0-a （同上）
设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ
分别交相应于焦点尸的双曲线准线于M、N两点，则MF LNF.（同上）
过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点F、Q,且4,4为双曲线实轴上的顶点，4尸和
AQ交于点人尸和AQ交于点N,则MFLNF.（同上） 2 2
A3是双曲线二—土 = 1 （a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M（Xo，%）为AB的中点，贝|
a b
x X
K°m - Kab = , o，即 Kab = o °。（同上） a~y0 a-y0
2 2
若心,为）在双曲线三-土 = 1 （。＞0，＞0）内，则被*所平分的中点弦的方程是：
a b
2 2
空—空=也_也（同上）
a2 b2 ~ a2 b2 '
2 2
若康气,％ ）在双曲线与-& = 1 （a＞0，＞0）内，则过*的弦中点的轨迹方程是：
a b
2 ?
三-与=竺-写.（同上）
a2 b2 a2 b2
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
椭圆
2 2
1.
椭圆 j +, = 1（。＞人＞0）的两个顶点为A（-a,0）, a（a,0）,与y轴平行的直线交椭圆于
2 2
GR时，与交点的轨迹方程是与一当=1.
y =
1 1 Ci 1
xx+a
—y2 ( , \
y =
一 (x + a) x2+a
徂2 _ f 2
，侍 ％ 一 2 2
西-a
a b
证明：*叫,乂）, *（改,叫），交点尸（此，为），由＜
2 2
则冬-奖=1
a2 b~
x2
“ y2 , 、
a2
—+ -^ = l（a＞b＞ 0）上任一点A（x0, %）任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B，。两 点，则直线8C有定向且kBC=^ （常数）.
证明:
设BIX” Yj) C(x2, y2)
X2 y2
卜_尹0 = k(x_Xo)&F+tr = 1 => a" b~
(b2 ^crk2)x2 +(No -农o)x + (*o -灯o)? = 0
(农°_*o) ♦妃X。一 2“******@o 一朋X。
a | -ta0 — •)
b' +a'k~ b" +a'k'
.. 、 b2y0 -a2k2yo-2b2x0k
yt = k(xl-x0)+y0 =… 小 —
b2 +a2k2
同理 v. = " k X。-2(i ky。-b x。1，= " No -" k *“ + 22 x。'
b2 +a2k2 2 b2 +a2k2
4疽y°k A 4b2xok h Ay b2x0
Ar a2yQ
—=1（61>/2>0）±异于长轴端点的任一点，鸟、乙是焦点，匕=
m a — c 则——
a + c
a B
—tan — co t —
2 2
证法1 （代数）
PR PF：
sin/? sin a sin(a+0) sin a + sin/? sina + sin/?-sin(a+ 0) 2a +2c
2a
sin a + sin /? + sin(a 4- /?)
、..a+fi ,a"、- . .a+p.. a-c _ sin a + sin /? - sin(a + p) _ ~sin 2 cos^ 2~ ~ Sin 2 COS^ “+c _ sina + sin Wsin(a+p)- 2sin(竺^)cos(蛙)+ 2sin(住)cos(竺 2 2 2 2
a+0)
= tan%aM
2 2
证法二（几何）
r为内切圆半径,p为半周长,心〃为焦点三角形的其余两条边
a B
tan—• tan —
2 2 p-n p-ni \
a B r' p-2c a-c
tan —«tan —= = =
2 2 (p — 〃) (p- ,77) p a +c
(p-m)(p-n)(p-2c)