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圆锥曲线的经典结论.docx


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有关解析几何的经典结论
一、椭圆
点F处的切线PT平分APRE在点P处的外角.(椭圆的光学性质)
PT平分醇F[F?在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆, 除去长轴的两个端点.(中位线)
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.(第二定义)
以焦点半径尸再为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.(第二定义)
2 2
若心,为)在椭圆二+ % = 1上,则过*的椭圆的切线方程是琴+衅=1.(求导或用联立
a b a b
方程组法) 2 2
若心,光)在椭圆春+云=1外,则过*作椭圆的两条切线切点为*,旦,则切点弦耶的直
线方程是竺+餐=1 a b
2 2
椭圆二+ % = 1 (a>b>0)的左右焦点分别为%点P为椭圆上任意一点 ^PF2 = y ,
a b
则椭圆的焦点角形的面积为Safpf =^2tan^.(余弦定理+面积公式+半角公式) △r ]厂r 2 c
2 2
椭圆笔+与=1 Ca>b>0 )的焦半径公式:
a b
\MFX \=a + exQ, \MF2 \=a-exG (/^(-c,0) , F2(c.O), M(xG,y0)).(第二定义)
设过椭圆焦点尸作直线与椭圆相交P,Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交
证明:x = ky + c,
相应于焦点尸的椭圆准线于两点,则MF1NF.
2 2
亳 + ' = 1 n (口2 + m) V2 + 2b2cky + b2c2 + a~b2
b~c2-a2b2 -2b2cky
yp y° = cr+b2k2 5 + % = a2+b2k2
a2c2 -a2b2k2 2a2c
XpX° a2+b2k2 ,Xp + X°
F Cl F Cl >N = =
yP a + xp yQ a + xQ
MF」NF = MF NF = On (如一切(今-c) + yMyN^O,
易得:(知_c)3n _《) = _/
10.过椭圆一个焦点尸的直线与椭圆交于两点RQ ,且A,A为椭圆长轴上的顶点,AF和AQ交
于点M,人尸和AQ交于点N,则MF上NF.(
证明:首先证明准线,ap和地公共点,
设尸(Xp,%),。(如化),不妨设xp>xQ,
灯=4, k,=W
Xp-a xQ-a
由<
y-kx (x-41)
y = k2 (x+<2)
得交点“也也土
kx~ki _3。+筮 h+Q
y 二灯尤 + c) x2 y2 1 —=1 L2 b2
得(b2 + a2k2)x2 + 2a2k2cx + a2c2k2 -a2b2 = 0 ,令M =片 +*好,N =』伊 +O2好一&好,
a2c2k2 -a2b2 -2a2k2c 2b2ck labkN
5=m,Xp+X^=^~' yp+yQ=^F'
-2/说 2如N
a2
a =
c
-2a2b2k -2abckN M + M
Xpyo+xoyp = , -xpyo+xoyp = , 则 工=—— —
「" Q P M P Q Q P M -labckN 2出 ck
+
再根据上一条性质可得结论。
AB是椭圆与+与=1的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)^jAB的中点,则kOM-kAB=—-,
a b a
X
即Kab =——。 (点差法)
a y0
2 2 2 2
若(x0, )在椭圆一+七~ = 1内,则被*所平分的中点弦的方程是—^― + + .
a b a b a b
(点差法)
2 2 2 2
若在椭圆亳+ % = 1内,则过*的弦中点的轨迹方程是二+ 土 =竺+写.
a b a b a b
(点差法)
二、双曲线
点P处的切线FT平分△ PR&在点F处的内角.(同上)
PT平分△ PF/?在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆, 除去长轴的两个端点.(同上)
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.(同上)
以焦点半径Pf;为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:P在左支) (同上)
2 2
若心,%)在双曲线土-土 = 1 (。>0,人>0)上,则过鸟的双曲线的切线方程是:
a b
竺-字=1.(同上)
a b
2 2
若耳(X。,%)在双曲线万-土 = 1(。>0,>°)外,则过*作双曲线的两条切线切点为*,R,
a b
则切点弦*E的直线方程是岑-岬=1.(同上) a b
2 2
双曲线一-—— 1 (tz>0,Z?>0)的左右焦点分别为F, F?,点P为双曲线上任意一点:
a b
/F\PF2=y,则双曲线的焦点角形的面积为膈

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  • 时间2022-06-23