mq插值法.docx

多尺度-具有应用于计算流体动力学的离散数据近似方案-I表面近似和部分衍生估计
，L-200,,Livermore,CA94550,
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摘要-我们提出了一个强大的，增多项式或更高空间维度的样条的插值，导数和积分估计方案形成为需要逻辑矩形网格的张量产品。陡峭的梯度区域可以通过自适应矩形网格细化来处理，参见
Berger和Oliger［5］。然而，逻辑矩形网格必须被认为是非常限制性的数据排列类型。在多维拉格朗日和移动节点流体动力学中，原始的矩形网格通常会经历大量的失真。通常数值扩散的低阶插值技术需要将解决方案从失真的网格周期性重新映射到良好行为的矩形网格上。在流体动力学模拟中发生的额外的截断误差相关的问题是对分区的限制，以最小化信号分散和真正的高阶传输，特别是拐角传输，vanLeer⑹已经设计出一维传输方案，
MQ:分散数据近似方案---I129提高精度和降噪。至少二阶精度的完全二维传输算法是非常理想的。
。分散数据插值技术的回顾
Franke［7］最近发表了一篇广泛的文章，对各种已知数据表面上的分散数据插值问题进行了
29种不同算法的评估。Franke根据以下标准对各种分散数据插值方案进行分级:准确性，视觉方面，对参数的敏感性，执行时间，存储要求和易于实施。
他测试的方法可以分为以下几组:（1）反距离加权方法;（2）基于矩形的混合方法;（3）三角形混合方法;（4）基于有限元的方法;（5）Foley［8,9］方法和（6）全局基函数法。我们将根据这些方法总结弗兰克的结论。
发现反距离加权或Shepard方法非常依赖于权重函数，并且通常在数据点处留下平坦点。基于矩形的混合方法虽然速度很快，但性能较差。发现三角混合方法在涉及长条形三角形时会出现问题，这些三角形是病态条件雅各布的症状，并给出错误的表面。
在考虑有限元法的基础上，Franke发现需要C（连续一阶导数）三角形元素。然而，对于精度和表面的视觉方面，对衍生物的非常准确的估计是必要的。再次，差的结果是由于长长的三角形。Franke声称，如果不放弃凸面或添加虚构点，这样长的细长三角形就无法避免。Foley的［8,9］方法使用广义的牛顿插值生成一个可以构造产品类型近似的网格，然后对原始近似值进行迭代校正。通过使用具有自然样条的广义牛顿内插器，可以发现该方案的最佳性能。通常，表面相当光滑，但有时在表面上表现出多项式样的“蛇形。”在测试方法的类中，Franke发现全局插值方法通常优于局部插值方法。全局方案的主要缺点是需要一组N线性方程的解。这种方法的操作次数以N3的速度增加。Franke表示，在所有测试方法中，Hardy的多重方法给出了最准确的测试结果。第二好的插值方法是Duchon的薄板样条［10,11］。
。多项式（MQ）方案及其开发的回顾哈迪［12,13］首先在1968年推导了二维多重（MQ）方案，以近似地理表面，引力和磁异常。
数学家在很大程度上不知道MQ，直到Franke的［7］审查报告出版。大多数数学家没有认真研究这种方法，因为MQ的数学分析是非常困难的，不知道为什么MQ执行得很好（参见Tarwater［14］）。
哈迪的基本方案很简单，易于实现。假设任何函数f都可被转换为N个连续不同的基函数g之和：
Nf（x）=〜ajgj（x-xj），（3）j=1
哪里
gj（x-xj）=［d〜（x-xj）+r2］'/2，（4）
r2是非零输入参数，
d〜（x-xj）=（x-xj）2+（y+yj）2+（5）
MQ的另一种常用形式是Hardy［12,13］,Frank［7］和Tarwater［14］讨论的倒数多凰RMQ）
RMQ基函数嗨只是等式（4）的倒数，
hj（x-xj）=1/gj（x-xj）。（6）
通过基于基函数求解一组线性方程来找到系数｛aj｝。例如，对于传统MQ，我们解决
n
ajgj（x，-xj）=F（xj），i=1,2...，N（7）
J=升
Micchelli［15］的理论研究已经证明，MQ插值对于不同的数据总是可解的，他已经表明，秩N的MQ系数矩阵具有一个正的实数特征值和N-1个负实数特征值，此外，他已经表明，Duchon的薄板样条是一个正确的插值，与Hardy的MQ插值函数在一定条件下正定［15］。
MQ内插可以与附加线性多项式正定
Franke［7］发现MQ表现优于RMQ，首先，这种观察看起来是直觉的，因为它随着距离的
增加而线性发散，另一方面，RMQ收敛为零作为相互距离。
基函数的渐近行为熟悉的扩展应引导我们了解MQ和RMQ基础功能，Legredre和Chebyshev功能在（-1,1）的范围内有界限，Laguerre和Herm