计算方法(椭圆、锥体).doc

1 《椭圆定理》及《椭圆常数 K1、 K2 的由来与周长、面积公式推导》 2006-09-01 椭圆常数 K1、 K2 的由来与周长、面积公式推导(本短文为我的论文《椭圆的奥秘》第一部分《椭圆里的数学》节选。) 椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合。椭圆中有常数 K1和 K2 ,椭圆的常数与椭圆周长、面积计算公式,一个为体,一个为用。一、椭圆周长、面积计算公式根据椭圆第一定义,用 a 表示椭圆长半轴的长, b 表示椭圆短半轴的长,且 a>b>0 。椭圆周长公式: L=2 π b+4(a-b) 椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长( 2πb )加上四倍的该椭圆长半轴长( a )与短半轴长( b )的差。椭圆面积公式: S=π ab 椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率( π)乘该椭圆长半轴长( a )与短半轴长(b )的乘积。二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程(一)发现椭圆常数常数在于探索和发现。椭圆三要素:焦距的一半( c ),长半轴的长( a )和短半轴的长( b )。椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长和面积。椭圆的周长取值范围: 4a<L<2 πa(1) 椭圆周长猜想: L=(2 π a-4a)T (2) T 是猜想的椭圆周率。将( 1 )等式与( 2 )等式合并,得: 4a<(2 π a-4a)T<2 πa(3) 根据不等式基本性质,将不等式( 3 )同除(2π a-4a) ,有: 4a/(2 π a-4a) <T<2 πa /(2 π a-4a) (4) 简化表达式( 4 ): 2/( π-2)<T< π/(π-2) 定义: K1=2/( π-2) ; K2= π/(π-2) 计算 K1、 K2 的值会发现 K1、 K2 是两个非常奇特的数: K1= …… K2= ……椭圆第二常数: K2=K1+1 椭圆常数的发现过程描述简单,得来却要复杂得多。(二)椭圆周长公式推导长期以来我们只用椭圆离心率 e=c/a 来描述椭圆,却忽视了椭圆 a与b 的关系。定义:椭圆向心率为 f, f=b/a 。根据椭圆第一定义,椭圆向心率 f ,有 0<f<1 的范围。 K1+f<K2 的数学关系正是椭圆周长计算时存在的数学关系。定义: T=K1+f ,将此等式代入等式( 2 )则有: L=(2 π a-4a)T=2( π-2)a(K1+f) =2( π-2)a(2/( π-2)+b/a)=2 π b+4(a-b) 椭圆周长计算公式: L=2 π b+4(a-b) (三)椭圆面积公式推导椭圆面积的取值范围: 0<S< π a2(5) ( 由于网上发文的遗憾,公式和符号输入略有缺陷,相信您能够看懂。如: π a2中a 2为a 的二次方。) 椭圆面积猜想: S=π a2T (6) T 是猜想的椭圆面积率。将( 5 )等式与( 6 )等式合并,得: 0<π a2T< π a2(7) 根据不等式基本性质,将不等式( 7 )同除π a2 ,则有: 0<T<1 。可得: S=π a2T= π a2(K+f) (8) 在等式(8)中 K=0 , f=b/a , 代入等式中: S=π a2b/a= π ab 椭圆面积计算公式: S=π ab 椭圆定理易