全国高中物理竞赛复赛试题及.doc

第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷
题号一二三四五六七总计
得分
复核人
全卷共七题，总分为140分。
一、（15分）图中a为一固定放置的半径为R的平均带电球体，O为其球心．己知取无限远
因为a不动，可取其球心O为原点，由于质子所受的a球对它的静电库仑力总是经过
a球的球
心，所以此力对原点的力矩始终为零，质子对
O点的角动量守恒。所求l的最大值对应于质子
到达a球表面处时其速度方向恰好与该处球面相切（见复解
20-1-1）。以lmax表示l
的最大值，
由角动量守恒有
mv0lmax
mvR
（2）
由式（1）、（2）可得
lmax
1
eU
（3）
2
R
mv0
/2
代入数据，可得
lmax
2R
（4）
2
若把质子换成电子，则如图复解
20-1-2
所示，此时式（
1）中e改为e。同理可求得
lmax
6R
（5）
2
评分标准：本题15分。
式（1）、（2）各4分，式（4）2分，式（5）5分。
二、参照解答
在温度为T1(27273)K=300K时，气柱中的空气的压强和体积分别为
p1
p0
h，
（1）
V1
lSC
（2）
当气柱中空气的温度升高时，
气柱两侧的水银将被迟缓压入
A管和B管。设温度升高到T
2
时，气柱右侧水银恰好全部压到
B管中，使管中水银高度增大
h
bSC
（3）
SB
由此造成气柱中空气体积的增大量为
VbSC
（4）
与此同时，气柱左侧的水银也有一部分进入A管，进入A管的水银使A管中的水银高度也应
增大h，使两支管的压强平衡，由此造成气柱空气体积增大量为
VhSA
（5）
所以，当温度为T2时空气的体积和压强分别为
V2
V1
VV
（6）
p2
p1
h
（7）
由状态方程知
p1V1p2V2
（8）
T1T2
由以上各式，代入数据可得
（9）
此值小于题给的最终温度T273t370K，所以温度将持续升高。从这时起，气柱中的空气作等压变化。当温度到达T时，气柱体积为
V
TV2
（10）
T2
代入数据可得
V

（11）
评分标准：本题
15分。
求得式（6）给6分，式（7）1分，式（9）2分，式（10）5分，式（11）1分。
三、参照解答
位于通道内、质量为m的物体距地心O为r时（见图复解20-3），它受到地球的引力可以表示为
F
GMm
（1）
r2
，
式中M是以地心O为球心、以r为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以
表示地球
的密度，此质量可以表示为
M
4
r3
（2）
3
于是，质量为
m的物体所受地球的引力可以改写为
F
4G
mr
（3）
3
作用于质量为
m的物体的引力在通道方向的分力的大小为
f
Fsin
（4）
sin
x
（5）
r
为r与通道的中垂线OC间的夹角，x为物体地址到通道中
点C的距离，力的方向指向通道的中点
C。在地面上物体的重力
可以表示为
mg
GM
0m
（6）
R02
式中M0是地球的质量。由上式可以获得
4
gGR0（7）
3
由以上各式可以求得
mg
fx（8）
R0
可见，f与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为
k
mg
（9）
R0
物体将以C为平衡地址作简谐振动，振动周期为
T
2
R0/g。取x0处为“弹性势能”
的零点，设位于通道出口处的质量为
m的静止物体到达
x
0处的速度为v0，则根据能量守恒，
有