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21. 共轭点的轨迹第 16讲: 共轭点的轨迹 133 第 16讲: 共轭点的轨迹共轭是高等几何中最重要的概念之一, 它是联系高等几何中各主要概念的一条主线, 二次曲线的许多重要结论都与此密切相关. 定义: 若直线 PQ 与圆锥曲线 G 相交于 A、B 两点,且 PA d(x1+x2)+e(y1+y2)+f=0. ?QB+PB?QA=0, 则称点 P与Q 是圆锥曲线 G 的一对共轭点. [ 条件定理]: 两点 P(x1,y1),Q(x2,y2) 关于曲线 G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0(a2+c2 ≠ 0) 共轭的充要条件是:ax1x2+cy1y2+ PAAQ 证明: 设直线 PQ 与圆锥曲线 G 相交于 A、B 两点,则P与Q 关于圆锥曲线G 共轭?? ?x? ,λ B=-; 设割线 PAB 的参数方程为:?? λ A+ λ B=0, 其中,λ A=? AQBQ?y? ?? PA?+? =0?+ PBBQ =0 PAPB x1??x2 1??( λ为参数), 代入圆锥曲线 G 的方程得: y1??y21?? 2 (ax2+cy2+2dx2+2ey2+f) λ+2(ax1x2+cy1y2+dx1+dx2+ey1+ey2+f) λ+ax1+cy1+2dx1+2ey1+f=0, 所以,λ A+ λ B=0?ax1x2+cy1y2+dx1 +dx2+ey1+ey2+f=0?ax1x2+cy1y2+d(x1+x2)+e(y1+y2)+f=0. 2222 推论 1(轨迹 1): 若直线PQ 与圆锥曲线 G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0(a2+c2 ≠ 0) 相交于 A、B 两点,且 PA 则:点 Q(x0,y0) 为定点?点P 在定直线 l:ax1x+cy1y+d(x+x1)+e(y+y1)+f= 0 上. ?QB+PB?QA=0, 证明:?QB+?QA=0? 点 P(x1,y1),Q(x0,y0) 关于曲线 G:ax+cy+2dx+2ey+f= 0共轭?ax0x1+cy0y1+d(x0+x1)+e(y0 22 +y1)+f=0. 点 Q(x0,y0) 为定点,由 ax0x1+cy0y1+d(x0+x1)+e(y0+y1)+f=0? 点P 在定直线 ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0 上. 推论 2(轨迹 2): 若曲线 G:ax2+cy2=1(ac ≠ 0), 直线 l:ax0x+by0y=1. 过原点O 引射线分别与曲线 G 、直线 l 交于 A、 Q, 点P :|OQ||OP|=|OA| 的充要条件是点P 的轨迹方程是 ax+cy=ax0x+by0y. 222 证明: 设点 P(x,y),A(x1,y1),Q(x2,y2), 点P 在射线 OQ 上? ?x2?tx (t≠ 0), 点 Q(x2,y2) 在直线 l:ax0x+by0y=1 上?ax0x2 ? ?y2?ty +cy0y2=1?t(ax0x+cy0y)=1. 设直线 OA 与曲线 G 相交于另一点 B, 则由曲线G 关于原点对称得:|OB|=|OA|. 所以,|OQ||OP|= |OA|? 2 PA?QB+PB? QA =0?axx2+cyy2=1?t(ax+cy)=1?ax+cy=ax0x+cy0y. 22222 2222 推论 3( 轨迹 3): 若曲线 G:mx2+ny2=1(mn ≠ 0), 曲线 C:ax2+cy2=1(ac ≠ 0). 过原点 O 引射线分别与椭圆 G 、曲线 C 交于点A、 Q,点P 在线段 AQ :|OQ||OA|=|OP| 的充要条件是点 P 的轨迹方程是(mx+ny)(ax+cy)=1. |OP||OQ||OP||OQ| =,设==λ?|OP|= λ|OA|,|OQ|=|OA||OP||OA||OP| OA,OQ= λ OP?? 2222 证明: 设点 P(x,y),A(x1,y1),Q(x2,y2), 由|OQ||OA|=|OP|2? λ|OP|, 又因 O,Q,A,P 四点共线, 且点 P 在线段 AQ 上, 所以,OP= λ 222222 ?x??x1?x2??x ,?.点 A(x1,y1) 在曲线?y??y1?y2??y 2 222G上?mx1+ny1=1?mx+ny= λ,点 Q(x2,y2) 在曲线 C上?ax2+cy2=1? λ(ax+cy)=1?(mx+n y)(ax+cy)=1. [ 基本结论]:点A、B、C、D 在二次曲线 G上,AD 与 BC 相交于点 X,A C 与 BD 相交于点 Y, 则点 X与Y 是圆锥曲线 1: 抛物线共轭点的轨迹.[ 始源问题]:(201 1 年全国高中数学联赛四川初赛试题) 抛物线 y=x 2 与