高等数学求极限的14种方法总结（附例题详解）及等价替换公式总结.doc

1 高等数学求极限的 14 种方法总结(附例题详解)及等价替换公式总结一、极限的定义 1. 极限的保号性很重要:设Axfxx ??)( lim , (i)若A0?,则有 0??,使得当????||0 0xx 时,0)(?xf ; ( ii) 若有,0??使得当????||0 0xx 时,0A,0)(??则 xf 。 2. 极限分为函数极限、数列极限, 其中函数极限又分为?? x 时函数的极限和 0xx?的极限。要特别注意判定极限是否存在在: (i) 数列??的充要条件收敛于 a nx 是它的所有子数列均收敛于 a 。常用的是其推论,即“一个数列收敛于 a的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于 a”( ii)Ax xfx Axfx ???????????? lim lim lim )()( (iii)Axxxx Axfxx ??????? lim lim lim )( (iv) 单调有界准则(v) 两边夹挤准则(夹逼定理/ 夹逼原理) ( vi) 柯西收敛准则( 不需要掌握) 。极限)( lim 0xf xx?存在的充分必要条件是: ???????????|)()(|)(,0,0 21021xfxfxUxx o时,恒有、: 1. 等价无穷小代换。只能在乘除.. 时候使用。例题略。 2. 洛必达( L’ hos pital ) 法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近, 而不是 N 趋近, 所以面对数列极限时候先要转化成求 x趋近情况下的极限, 数列极限的 n 当然是趋近于正无穷的, 不可能是负无穷。其次, 必须是函数的导数要存在,假如告诉 f(x)、g(x), 没告诉是否可导, 不可直接用洛必达法则。另外, 必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”, 并且注意导数分母不能为 0 。洛必达法则分为 3种情况: (i)“0 0 ”“??”时候直接用(ii) “??0 ”“???”, 应为无穷大和无穷小成倒数的关系, 所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后, 就能变成(i) 中的形式了。即)( 1 )()()()( 1 )()()(xf xgxgxfxg xfxgxf??或;)()( 1 )( 1)( 1)()(xgxf xfxgxgxf ???(iii) “00 ”“?1 ”“ 0?”对于幂指函数, 方法主要是取指数还取对数的方法, 即e xfxgxgxf )( ln)()()(?, 这样就能把幂上的函数移下来了, 变成“??0 ”型未定式。 2 3. 泰勒公式( 含有 xe 的时候,含有正余弦的加减的时候) 1 2 )!1(!!2 1 ???????? n xnxxn en xxxe ??;321 1253 )!32( cos )1( )!12( )1(!5!3 sin ????????????? m m mmxm xm xxxxx ?? cos=221 242 )!22( cos )1( )!2( )1(!4!2 1 ?????????? m m mmxm xm xxx?? ln( 1+x ) =x-1 11 32)1 )(1( )1()1(32 ??????????? n nn nnxn xn xxx??(1+x) u =1112)1(!2 )1(1 ??????????? nnunu nnuxxCxCx uuux??以上公式对题目简化有很好帮助 4. 两多项式相除:设均不为零 mnba, , P(x)=01 11axaxaxa nn nn???????,01 11)(bxbxbxbxQ mm mm????????(i)????????????????)(, )(,0 )(,)( )( lim mn mn nmb axQ xPx n n( ii)若0)( 0?xQ ,则)( )()( )( 0 0 lim xQ xPxQ xPxx ?? 5. 无穷小与有界函数的处理办法。例题略。面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。 6. 夹逼定理: 主要是应用于数列极限, 常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例:(1)设0???cba , n nnnncbax???,求 nnx lim ??解:由于 aaaaaxa nnn nn????????)3(,,3 lim lim 以及,由夹逼定理可知 ax nn??? lim (2 )求???????????? 222)2( 1)1( 11 lim nnn n?解:由 nnnnnnn 1111)2( 1)1( 110 222222????????????,以及 0 10 lim lim ??????n nn 可知