不定积分的计算.ppt

关于不定积分的计算
第一张，共四十七张，创建于2022年，星期一
问题
？
解决方法
利用复合函数求导的逆运算，设置中间变量.
过程
令
说明结果正确
一、第一换元积分法
第二张，共四十七张，创建于2022年，星式中拼凑出合适的微分因子．
第十五张，共四十七张，创建于2022年，星期一
例10 求
第十六张，共四十七张，创建于2022年，星期一
例11 求
第十七张，共四十七张，创建于2022年，星期一
例12 求
第十八张，共四十七张，创建于2022年，星期一
例13 求
第十九张，共四十七张，创建于2022年，星期一
例14 求
第二十张，共四十七张，创建于2022年，星期一
例15 求
第二十一张，共四十七张，创建于2022年，星期一
解
类似可得
例16. 求
第二十二张，共四十七张，创建于2022年，星期一
小结
积分常用技巧:
(1) 分项积分:
(2) 降低幂次:
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 凑微分法（陪元方法）
(4) 巧妙换元或配元。
利用积化和差; 分式分项等;
利用倍角公式 , 如
第二十三张，共四十七张，创建于2022年，星期一
作业
P155 1 (1)--(18)
第二十四张，共四十七张，创建于2022年，星期一
二、第二换元积分法
设
将积分 化为
若
则
若对结论作复合函数的求导计算，则可知其正确性。
第二十五张，共四十七张，创建于2022年，星期一
例1 求
解
令
则
于是
第二十六张，共四十七张，创建于2022年，星期一
例2 求
解
令
第二十七张，共四十七张，创建于2022年，星期一
说明
当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数）
例3 求
解
令
第二十八张，共四十七张，创建于2022年，星期一
三、分部积分法
由导数公式
积分得:
分部积分公式
或
分部积分法一般用于是解决两种不同类型函数乘积的不定积分问题的.
第二十九张，共四十七张，创建于2022年，星期一
例1. 求
解: 令
则
原式 =
分析：被积函数 xlnx 是幂函数与对数函数的乘积, 采用分部积分.
第三十张，共四十七张，创建于2022年，星期一
例2 求积分
解（一）
令
显然， 选择不当，积分更难进行.
解（二）
令
分析：被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积, 采用分部积分.
第三十一张，共四十七张，创建于2022年，星期一
(1) v要容易求出;
容易积出.
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择
一般来说， 选取的原则是：
第三十二张，共四十七张，创建于2022年，星期一
解题技巧： 分部积分法求不定积分的关键是要确定u，由计算的经验，可以得出以下顺序：“反（反三角函数）、对（对数函数）、幂（幂函数）、指（指数函数）、三（三角函数）” ，当两种不同类型函数相乘求积分时，按以上顺序，排序在前的函数作为u.
即 把被积函数视为两个函数之积 , 按
“ 反对幂指三” 的顺序,
前者为 后者为
第三十三张，共四十七张，创建于2022年，星期一
例3. 求
解: 令
, 则
原式 =
第三十四张，共四十七张，创建于2022年，星期一
例4 求
解 设 u = arctanx, v′= x, 则
“ 反对幂指三”
前者为 后者为
第三十五张，共四十七张，创建于2022年，星期一
例5 求
解 设 u = lnx, dv = dx, 则
“ 反对幂指三”
前者为 后者为
第三十六张，共四十七张，创建于2022年，星期一
例6 求
设 u = x 2, , 则 du = 2xdx, v = -cosx,
于是
解：
第三十七张，共四十七张，创建于2022年，星期一
例7 求
上式最后一项正好是所求积分, 移到等式左边然后除以2, 可知 e x sinx 的一个原函数为
第三十八张，共四十七张，创建于2022年，星期一
说明:
分部积分题目的主要类型:
1) 直接分部化简积分 ;
2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;
(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型要一致 ,
解出积分后加 C )
第三十九张，共四十七张