无穷小极限的简单计算及等价替换公式的运用.doc

1 无穷小极限的简单计算及等价替换公式的运用【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念; 2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限; 3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】 1、无穷小与无穷大; 2、无穷小的比较; 3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换; 4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质( 30分钟),在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上, 让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法( 20分钟)。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧( 25分钟),课堂练****15 分钟)。【授课内容】一、无穷小与无穷大 ?? n 数列 nx 的极限、?? x ( ??? x 、??? x )函数?? xf 的极限、 0xx?( ?? 0xx 、?? 0xx )函数( ) f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用? x *表示上述七种的某一种趋近方式,即*?????????????????? 000xxxxxxxxxn 定义: 当在给定的? x *下, ( ) f x 以零为极限,则称( ) f x 是? x *下的无穷小,即?? 0 lim ??xf x*。例如,,0 sin lim 0??x x?.0 sin时的无穷小是当函数??xx,0 1 lim ???x x?. 1时的无穷小是当函数???xx,0 )1( lim ????n nn?.} )1({时的无穷小是当数列????nn n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆;零是可以作为无穷小的唯一的数,任何非零常量都不是无穷小。定义: 当在给定的? x *下, ?? xf 无限增大,则称?? xf 是? x *下的无 2 穷大,即?????xf x* lim 。显然, ?? n 时, ?、、、 32nnn 都是无穷大量, 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆; 无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的,在不同的极限形式下,同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大,如 0 lim ???? xxe , ?????? xxe lim , 所以 xe 当??? x 时为无穷小,当??? x 时为无穷大。 2. 无穷小与无穷大的关系: 在自变量的同一变化过程中,如果?? xf 为无穷大, 则?? xf 1 为无穷小;反之,如果?? xf 为无穷小,且?? 0?xf ,则?? xf 1 为无穷大。小结:无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势,因此任何常量都不是无穷大量,任何非零常量都不是无穷小,谈及无穷大量、无穷小量之时,首先应给出自变量的变化趋势。 3. 无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0 lim ( ) ( ) ( ), x x x f x A f x A x ?? = ? = + 其中)(x?是自变量在同一变化过程 0xx?(或?? x ):( 必要性) 设 0 lim ( ) , x x f x A ?= 令( ) ( ) , x f x A ?= - 则有 0 lim ( ) 0, x x x??= ).()(xAxf????(充分性) 设( ) ( ), f