5稳定性和代数稳定判据.ppt

线性系统的稳定性分析一个线性控制系统能够正常工作的首要条件,就是它必须是稳定的。控制系统在实际运行中,不可避免地会受到外界或内部的一些扰动因素的影响,从而会使系统各物理量偏离原来的工作状态。如果系统是稳定,那么随着时间的推移,系统地各物理量就会恢复到原来的工作状态。如果系统不稳定,即使扰动很微弱,也会使系统中的各物理量随着时间的推移而发散,即使系统的扰动消失后,系统也不可能再恢复到原来的工作状态。因此,显然不稳定的控制系统是无法正常工作的。因此,如何分析的稳定性并提出保证系统稳定的措施,是自动控制理论研究的基本任务。•钟摆的运动平衡点(状态)为 A、D ,为扰动引起的初始偏差角。对于平衡点 A ,在扰动消失后,由初始偏差角开始的自由运动随着时间的推移,摆终究会停止运动并回到平衡点 A ,所以平衡点 A 是一个稳定的平衡点(状态);对于平衡点 D 哪怕是由扰动引起的微小偏差角,在扰动消失后,无论经过多长的时间,摆都不会再回到原来的平衡点 D ,所以平衡点 D 是一个不稳定的平衡点(状态)。 DC BA (1)控制系统稳定的实例: •设系统的传递函数为: 12 12)( 23 2sss sssG 特征方程为: 012 23sss则系统的解为: )()7449 .0 sin( )( * 1226 .07549 .1tyt Be Ae ty tt其特征根为: , 3,2 1ss 是方程的一个特解,由输入 u(t) 确定。前两项是相应的其次方程的通解,其中 A,B,是待定常数,由初始条件确定。经充分长时间以后,系统的解终将进入 u(t) 的无限小邻域,即完全由输入量确定而与初始条件无关。这在工程上认为系统进入了静态,对应的特解称为静态解或稳态解,则系统是稳定的。)( *ty)(ty (2)平衡状态所谓平衡状态从具体的例子中可见实际上就是系统处于“静止”(不动)的状态(点),从数学的观点来定义,平衡状态是指系统运动微分方程的各阶导数匀为零时的运动状态。(2)系统运动稳定性的描述稳定性描述:线性系统受到扰动的作用而使被控量产生偏差, 当扰动消失后,随着时间的推移,该偏差逐渐减小并趋于零,即被控量回到原来的平衡工作状态,则称该系统稳定。反之,若在扰动的影响下,系统的被控量随着时间的推移而发散,则称系统不稳定。通过前面关于系统动态性能的分析可知,线性系统由扰动作用而使被控量产生偏差,当扰动消失后,偏差能否“消失”,实际上是指系统的暂态响应能否消失,若暂态响应能消失的,则系统是稳定的,若暂态响应不能消失,则系统是不稳定。对于暂态响应不能消失有 2种情况,一种情况是系统的暂态响应呈现发散状态,另外一种情况是系统的暂态响应呈现等幅振荡状态,对于等幅振荡情形可以称为临界稳定状态。结论: 线性系统的稳定性,与系统的输入信号、初始状态均无关,它是系统的固有本质属性,完全取决于系统的结构和参数。•由于线性系统的稳定性与输入信号形式和初始状态无关,因而只需要研究系统无论是“什么”激励信号产生的暂态响应,也即系统的自由运动能否随着时间的推移而消失,因此可以假设系统的初始条件为零, 外部激励为脉冲函数输入信号,即研究单位脉冲响应 g(t ),随着时间推移并趋向无穷大时的衰减和发散情况。这种假设相当于在扰动信号作用下,输出信号偏离原来的工作状态的情形。 3 系统不稳定发散 2 系统稳定衰减 1 稳定状态脉冲响应衰减情况脉冲函数极限值序号 0)( lim tg t)( lim tg tCtg t)( lim 若时间时,脉冲响应函数趋向于零,则系统是稳定的,若发散则系统不稳定,若等于某个定值则系统临界稳定。 t)(tg 线性系统稳定的充分必要条件为:系统微分方程的特征根的全部根都是都负实数或实部为负的复数,也即,系统闭环传递函数的极点均位于 s平面的左半平面。, 当特征根出现正实数或实部为正的复数或有极点分布于 s平面的右半平面时,线性系统为不稳定;当特征根出现纯虚数或有极点位于 s 平面的虚轴时,线性系统为临界稳定。不稳定区域稳定区域临界稳定 S平面j 0 )3(2)( 0sssG)23(2)( 2sss 2 1p 1 2p [例3] 单位负反馈控制系统的开环传递函数为: ,试判别闭环系统的稳定性。解:闭环统的传递函数为,其闭环极点为、,所以系统稳定。[例 1]系统的闭环传递函数为: ,判别系统稳定性。)2 )(1()1(2)(ssss 解:由给定闭环传递函数可知系统的闭环极点分别为、, 所以系统稳定。 2 1p1 2p [例