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系统模型与系统分析
课程教师：xxx教授
学院：通信工程学院
姓名：五里雾
一、 什么叫系统分析？系统分析的要素有哪些？系统分析的“5W1H”要点是什么？（25 分）
系统分析产生于2 0世纪4 0年代末期的美国兰德公司，老师PPT 分成两类，在此处合并为一类进行叙述。）
（1） 、对象：可实验和不可实验的黑箱和灰箱系统；
（2） 、方法：通过实验或者查阅历史统计资料，找出系统的输入和输出数据，然后运用自控 中的传递函数方法或其它的数学方法（如回归分析、时序分析等方法），建立系统输出与输 入之间的关系——系统的数学模型。
3、 混合法
也称数据拟合法。相当多的建模过程是以统计数据或实验数据为基础的。以收集和分析数据 为基础去构建一个系统模型的方法，称之为数据拟合法。
4、 类似法（相似模型）
（1） 、对象：用推理法难以建模的复杂的白箱系统；
（2） 、方法：利用不同事物具有的同型性，建造原系统的类似模型。
三、 考虑湖水的污染与净化问题，如果流入湖的污水浓度比湖水浓度高，那么湖水就要
受到污染；反之，如果将清水注入湖内，则可以使湖水净化。为了简化问题，现在 做如下假设：
（1） 蒸发量和降雨量相等，流入与流出的平均速度相等，即湖水总量保持不变；
（2） 污水不发生化学变化，也不引起沉淀；
（3） 污水瞬间混合是均匀的，即湖中水的浓度总是均匀的。
记湖水体积为口，初始浓度为C0，注入水的速度为V,注入水的浓度为厂，如果以清水注
入湖中，问多长时间才能使湖水浓度降到初始浓度的10%?(25分)
分析步骤：
问题分析
首先考虑湖水的污染与净化问题，如果流入湖的污水浓度比湖水浓度高，那么湖水就要 受到污染；反之，如果将清水注入湖内，则可以使湖水净化。
模型假设
蒸发量和降雨量相等，流入与流出的平均速度相等，即湖水总量保持不变；
污水不发生化学变化，也不引起沉淀；
(3) 污水瞬时混合是均匀的，即湖中水的浓度总是均匀的。

Q
湖水的体积
V
流人流出的速度
u(t)
湖水的污染浓度
C
注入水的污染浓度
At
时间段间隔

本题是一个推测问题，其主要在于据题中所给的数据求出会中污染物的浓度，预测湖水 最终达到所需的浓度所需要的时间。经过分析我们得知，影响湖水污染浓度的主要因素是河 水的污染浓度、和原本湖水的污染浓度，及流出流入的量。因而我们把问题转化为时间间隔 与湖水污染浓度的函数关系，利用微分方程，建立数学模型反应湖水的浓度变化。本文便是 以建立一个合理的模型来求解湖水污染浓度，判断湖水是否会恶化的问题。
模型建立与求解
根据物质的量的守恒，建立恒等式：
湖中污染物的改变量=流入污染物的量-流出污染物的量
U (t + W) - u (t )L。= C(t )-V At - u(t )-At V
当两边同时除以时间间隔At，得到时间相对于湖水浓度的微分方程:
du V
-[C (t) — u(t)]'~
dt Q
u(0)=C
0
解得：
— — Vt
u= C +[(C0- C )* e -Q ] (1)
结果
此题要求的是在注入清水的情况下，要多长时间才能使湖水的浓度达到原来浓度的
10%。则最终的湖水浓度是u