购买十只股票的最优投资组合.doc

作业二:购买十只股票的最优投资组合
1、理论基础
马科维茨讨论了投资者将一笔资金在给定的持有期进行投资的问题,也就是选择一个最优的证券组合。由于每种证券(从而证券组合)未来的收益率是未知的,因此,不可能做出一个保证获得最高收益的决策。尽管可以估计每种证券未来的收益率(期望收益率),仍然不能满足上面的要求,这是因为,基于期望收益率的决策最多只能获得最高平均收益率(组合的期望收益率)。
正是因为对收益率的不确定性(风险)在决策中的关注,马柯维茨指出,任何一位投资者在追求“高收益”的同时,还希望“收益尽可能是确定的”。决策目标应该有两个:第一,“尽可能高的收益率”;第二,“尽可能低的不确定性(风险)”。
收益与风险的度量
有关风险和收益的度量,本文用期望度量收益,用方差(或标准差)度量风险。具体的用历史数据估计期望收益率和方差——样本均值和样本方差。
假设收益率的概率分布是恒定的,那么,实际收益率就是来自同一概率分布的抽样样本。因而,可以用样本均值和样本方差对期望收益率和方差进行估计。
假设从时刻到的实际收益率是,这就是由收益率的时间序列所构成的样本,则样本均值和样本方差为:


证券之间的关联性--协方差与相关系数
用分别表示证券A和证券B的收益率,则其联合分布通常表示为:

证券A和证券B的协方差由下式计算:

协方差反映两种证券协同变化的数量,数值大小依赖于证券收益率与自身期望收益率的偏离程度。然而,协方差的数值大小并不能完全反映证券间的关联关系。
为了对相关程度做出衡量,应将上面的偏离程度进行标准化,标准化后的协方差就是相关系数。数学公式如下:
,
其中,分别是证券A和证券B的标准差。
证券投资组合的期望方差计算
证券投资组合的方差与期望的确定要计算组合的期望收益率和方差,除了要知道证券A和B的期望收益率和方差外,还必须知道证券A和B之间的相关系数(或协方差)。计算公式如下:

显然,选择不同的组合权数,就可以得到不同的证券组合,从而得到不同的期望收益率和方差。投资者可以根据自己的偏好,选择符合自己要求的证券组合。
马柯维茨均值方差模型
要使用数学模型,就需要对客观现实进行假设。虽然社会科学对条件假设不像数学那样严格,必要的说明还是不可少的,马柯维茨模型做了下面的假设。
假设1:投资收益率的概率分布是已知的;
假设2:投资风险用投资收益率的方差或标准方差标识;
假设3:影响投资决策的主要因素为期望收益率和风险;
假设4:投资者都遵守占优原则;同一风险水平下,选择收益率较高的证券;同一收益率水平下,选择风险较低的证券。
理性的投资者总希望风险尽量小而收益尽量大,或者收益相等风险最小。收益相同风险最小,即在给定的期望收益率下,寻找最小方差的资产组合;风险相同收益最大,即在给定的方差下,
有效前沿。
求最优投资组合就是在一定的预期收益水平下,求方差最小的组合。可表示为如下最优问题:
.
其中,,表示N个风险资产收益率的期望向量,是已知的。I表示每个分量都等于1的N维向量,V表示N个资产的协方差矩阵,W表示权重,前沿证券组合所对应收益率,体现在约束条