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第五节劳斯-胡尔维茨稳定性判据
稳定性是控制系统最重要的问题,也是对系统最起码的要求。控制系统在实际运行中,总会受到外界和内部一些因素的扰动,例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。如果系统不稳定,当它受到扰动时,系统中各物理量就会偏离其平衡工作点,并随时间推移而发散,即使扰动消失了,也不可能恢复原来的平衡状态。因此,如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施,是控制理论的基本任务之一。
常用的稳定性分析方法有:
 1. 劳斯-胡尔维茨(Routh-Hurwitz)判据这是一种代数判据方法。它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置,从而决定系统的稳定性.
 2. 根轨迹法这是一种图解求特征根的方法。它是根据系统开环传递函数以某一(或某些)参数为变量作出闭环系统的特征根在S平面的轨迹,从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。
3. 奈魁斯特(Nyquist)判据这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性,同样避免了求解闭环系统特征根的困难。这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。
4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统,而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统,更适用于非线性系统。该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
一、稳定性的概念
稳定性的概念可以通过图3-30所示的方法加以说明。
(a) 稳定的(b) 不稳定的
图3-30 圆锥体的稳定性
系统的稳定性定义为,系统在受到外作用力后,偏离了正常工作点,而当外作用力消失后,系统能够返回到原来的工作点,则称系统是稳定的。
线性闭环系统的稳定性可以根据闭环极点在S平面内的位置予以确定。线性系统特征方程式为

设上式有k个实根-pi (i=1,2,…,k),r对共轭复数根(-s i±jw i ) (i=1,2,…,r),k+2r=n,则有:
(1) 若-pi <0,-s i <0 (即极点都具有负实部),系统最终能恢复至平衡状态,所以系统是稳定的。
(2) 若-pi或-si中有一个或一个以上是正数,当t→∞时,c(t)将发散,系统是不稳定的。
(3) 只要-pi中有一个为零,或有一对纯虚根。当t→∞时,系统输出或者为一常值,或者为等幅振荡,不能恢复原平衡状态,这时系统处于稳定的临界状态。
()
总结上述,可以得出如下结论:
线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征根均为负实数,或具有负的实数部分。
由于系统特征方程式的根在根平面上是一个点,所以上述结论又可以这样说:线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征根,均在根平面的左半部分(见图3-31)。
图3-31 根平面
二、劳斯判据
(一)系统稳定性的初步判别
已知系统的闭环特征方程为


式中所有系数均为实数,且an>0,则系统稳定的必要条件是上述系统特征方程的所有系数均为正数。
()
根据这一原则,在判别系统的稳定性时,可首先检查系统特征方程的系数是否都为正数,假如有任何系数为负数或等于零(缺项),则系统就是不稳定的。但是,假若特征方程的所有系数均为正数,并不能肯定系统是稳定的,还要做进一步的判别。因为上述所说的原则只是系统稳定性的必要条件,而不是充分必要条件。
(二) 劳斯判据
这是1877年由劳斯(Routh)提出的代数判据。
 1. 若系统特征方程式
 2. 按特征方程的系数列写劳斯阵列表:
在上述计算过程中,为了简化数值运算,可将某一行中的各系数均乘一个正数,不会影响稳定性结论。

3. 考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列表中第一列系数均为正数,则该系统是稳定的,即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面。假若第一列系数有负数,则第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。
例系统特征方程为
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解从系统特征方程看出,它的所有系数均为正实数,满足系统稳定的必要条件。列写劳斯阵列表如下
1 12 6
6 11 0
61/6 6
455/61 0
6
第一列系数均为正实数,故系统稳定。事实上,从因式分解可将特征方程写为
其根为-2,-3, ,均具有负实部,所以系统稳定。
(s+2) (s+3) (s2 +s+1) = 0
例已知系统特征方程式为
解列写劳斯阵列表
1 2 5
3 1 6
5 9 (各系数均已乘3)
-11 15 (各系数均已乘5/2)
174 (各系数均已乘11)
15
劳斯阵列表第一列有负数,所以系统是不稳定的。由于第一列系数的符号改变了两次(5→-11→174),所以,系统特征方程有两个根的实部为正。