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空间向量在判断空间线面位置关系中的应用
江苏 韩文美
空间向量是处理空间问题的重要方法，通过将空间元素间的位置关系转化为数量关系， 将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，为学生处理某些立 体几何问题提供了的新视，把直线与平面平行的问题转化为向量与向量的垂直问题.
x
证明：建立如图所示的空间直角坐标系
D1F，则各点对应的坐标为*,0,0）,
— ABC D中，棱长为1,求证：平面ABD //平面B D C .
1111 1 1 1
y + z = 0
n • BD = 0 〔一 x — y = 0
■ — ■ A
• AB
D1 = (—1,T,0)，D1
(0,1,
DC
1
所以B D， D C都与n垂直，即n与平面B D C垂直，
叩』,。）,"os b（顷，aw，皿侦,
则AB = (0,1,1)，BD = (—1,—1,0)，
1
设平面A]BD的法向量为n = 3, y, z），
从而得到平面1 BD //平面B1 Dy .
评析：利用一个向量同时垂直于两个平面来证明两个平面的平行问题，把证明两个平面 的平行问题转化为证明两个平面同时垂直于它们的法向量的问题.
2、向量在推证线线垂直、线面垂直、面面垂直中的应用
原理：a ± b o a • b = 0.
证线面垂直的具体做法：若要证直线l与平面a垂直，只要在a内找到两个不共线向量
a、b，在l上取向量p，证得p • a = 0且p • b = 0即可.
F 1-
证面面垂直的具体做法：如果两个相交平面a和P的法向量分别为n1和n2，那么要
■- F !»■ ►
证明alp，只要证明法向量n和n2所成的角为直角或n 1 n2即可.
例3.（ 2 0 0 6年高考浙江卷）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD 〃BC，/BAD=90°，PAL底面 ABCD，且 PA=AD=AB=2BC，M、N 分别为 PC、PB 的 ：PBLDM.
证明：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A - xyz,设BC=1，则
八1八
A(0,0,0), P(0,0,2), B(2,0,0), C(2,1,0), M(y,1), D(0,2,0),
3
那么 PB = (2,0,-2), DM = (1,- -,1),
3 .、八
由于 PB • DM = (2,0,-2) •(】,—5,1) = 0,所以 PB±DM.
A
评析：把证明两条直线垂直的问题转化为证明两条直线的方向向量相互垂直的问题，即 证明两条直线的方向向量的数量积为零的问题.
例4.( 2 0 0 6年高考重庆卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL底面ABC D, ZDAB 为直角，AB//CD,AD = CD=2AB,E、F 分别为PC、CD的中 点。试证：CD上平面BEF.
证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为乙轴 建立空间直角坐标系，设AB = a ,则可知各点坐标为A(0,0,0), B(a,0,0), C(2a,2a,0),
D(0,2a,0), F(a,2a,0),
从而 DC = (2a,0,0), BF =