度量空间的列紧性与紧性.docx

4 度 量 空 间 的 列 紧 性 与 紧 性
度量空间的紧性 Compactness
在微积分中，闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等，这些性质的成
立基于一个重要的事实：R的紧性，
设A是度量空间X中的紧集，f是定义在X上的实值连续函数(泛函)，即f： X t R， 那么f在A上取得最大值与最小值.
证明设E = f (A)，由上述引理知E是R中的紧集•所以E是R中的有界集，于是上、下 确界存在，设
下证M是f在A上取得的最大值，同理可证m是f在A上取得的最小值•由确界性的定义 知'Vn， 3x g A '使得
n
f (x )〉M -1，即可得 M -1 < f (x ) < M < M + —1 ・
n n n n n
再由A为紧集知存在{x } u {x }'使得x T x* g A (k fg )，于是
nk n nk
令k fg，有f (x*)二M，因此M是f在A上取得的最大值•口

刻画列紧性的重要概念之一是全有界性，通过以下的讨论可知：(1)度量空间中的列紧 集必是全有界集；(2)在完备度量空间中，列紧集和全有界集二者等价.
定义1・4・2 £网
如果对于A中任何点x，
必存在B中点x'，使
设X是度量空间，A,B u X，给定£〉0 -
得 d (x, x') <£， 则称B是A的一个£网■即A u O(x, £ )
xgB
B是A 的一个£网示意图
例如：全体整数集是全体有理数的0・6网；平面上坐标为整数的点集是&的0・8网. ・6网示意图

设X是度量空间，A u X，如果对于任给的£〉0 , A总存在有限的£网，则称A是X中的 全有界集.
注5:根据定义可知a是X中的全有界集等价于V£〉0， 3{x , x , , x } u X，使得
i
・・•
的全有界集当且仅当V£〉0， 3{x ,x , ,x } u A，使得
1 2 n
A u nO( x , £)，其中O(x, £)表示以x中心，以£为半径的开邻域.
i
a是度量空间x
Au O(x,£)．
i
i=1 •…
证明当A是全有界集时，V£〉0，3{x ,x , ,x } u X，使得Au nO(x ,-) •不妨设V1 <i <n有
12
一一 i 2
i=1
O(x , —) A H ©，选取 y g O(x A) A，
i 2 i i 2
n n
Au
,y } u Y 以及 O(—) u O(y ,£)'因此
O(y , £)•口
i
5 x.，2) u
i=1 i=1
i 2 i
i' 2
注6：在Rn中，不难证明全有界集与有界集等价，那么在一般的度量空间中这样的结 论成立吗？还是只在完备的度量空间中成立？下面给出有界集和全有界集的关系.
定理
设X是度量空间，A U X，若A是全有界集，则(1) A是有界集；(2) A是可分集. 证明⑴设A是全有界集，取"1，由定义知，3n e N及｛x,x , , x ｝ u X ,使得
1 2 n
A U O(x ,1)