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度量空间的列紧性与紧性.docx


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4 度 量 空 间 的 列 紧 性 与 紧 性
度量空间的紧性 Compactness
在微积分中,闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等,这些性质的成
立基于一个重要的事实:R的紧性,
设A是度量空间X中的紧集,f是定义在X上的实值连续函数(泛函),即f: X t R, 那么f在A上取得最大值与最小值.
证明设E = f (A),由上述引理知E是R中的紧集•所以E是R中的有界集,于是上、下 确界存在,设
下证M是f在A上取得的最大值,同理可证m是f在A上取得的最小值•由确界性的定义 知'Vn, 3x g A '使得
n
f (x )〉M -1,即可得 M -1 < f (x ) < M < M + —1 ・
n n n n n
再由A为紧集知存在{x } u {x }'使得x T x* g A (k fg ),于是
nk n nk
令k fg,有f (x*)二M,因此M是f在A上取得的最大值•口

刻画列紧性的重要概念之一是全有界性,通过以下的讨论可知:(1)度量空间中的列紧 集必是全有界集;(2)在完备度量空间中,列紧集和全有界集二者等价.
定义1・4・2 £网
如果对于A中任何点x,
必存在B中点x',使
设X是度量空间,A,B u X,给定£〉0 -
得 d (x, x') <£, 则称B是A的一个£网■即A u O(x, £ )
xgB
B是A 的一个£网示意图
例如:全体整数集是全体有理数的0・6网;平面上坐标为整数的点集是&的0・8网. ・6网示意图

设X是度量空间,A u X,如果对于任给的£〉0 , A总存在有限的£网,则称A是X中的 全有界集.
注5:根据定义可知a是X中的全有界集等价于V£〉0, 3{x , x , , x } u X,使得
i
・・•
的全有界集当且仅当V£〉0, 3{x ,x , ,x } u A,使得
1 2 n
A u nO( x , £),其中O(x, £)表示以x中心,以£为半径的开邻域.
i
a是度量空间x
Au O(x,£).
i
i=1 •…
证明当A是全有界集时,V£〉0,3{x ,x , ,x } u X,使得Au nO(x ,-) •不妨设V1 <i <n有
12
一一 i 2
i=1
O(x , —) A H ©,选取 y g O(x A) A,
i 2 i i 2
n n
Au
,y } u Y 以及 O(—) u O(y ,£)'因此
O(y , £)•口
i
5 x.,2) u
i=1 i=1
i 2 i
i' 2
注6:在Rn中,不难证明全有界集与有界集等价,那么在一般的度量空间中这样的结 论成立吗?还是只在完备的度量空间中成立?下面给出有界集和全有界集的关系.
定理
设X是度量空间,A U X,若A是全有界集,则(1) A是有界集;(2) A是可分集. 证明⑴设A是全有界集,取"1,由定义知,3n e N及{x,x , , x } u X ,使得
1 2 n
A U O(x ,1)

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  • 时间2022-08-08