729-第五章解线性方程组的直接方法.ppt

第五章解线性方程组的直接方法
计算方法
——向量与矩阵范数
1
本讲内容
向量范数
矩阵范数
向量范数的定义
常见的向量范数
向量范数的性质
矩阵范数的定义
F-范数与算子范数
矩阵范数的性质、算子范数的性质
2
向量范数
设函数 f : Rn  R,若 f 满足
f(x)  0, xRn , 等号当且仅当 x = 0 时成立
f(x) = || · f(x) ,  xRn , R
f(x+y)  f(x) + f(y)
则称 f 为 Rn 上的(向量)范数,通常记为|| · ||
例: ,是 Rn 上向量范数
向量范数
3
向量范数
常见的向量范数
③无穷范数(最大范数)
② 2-范数
① 1-范数
4
范数性质
范数的性质
(1) 连续性
设 f 是 Rn 上的任意一个范数,则 f 关于 x 的每个分量是连续的
(2) 等价性
设|| · ||s 和|| · ||t 是 Rn 上的任意两个范数,则存在常数 c1 和 c2 ,使得对任意的 xRn 有
证明:板书
5
范数性质
(3) Cauchy-Schwarz 不等式
(4) 向量序列的收敛性
6
矩阵范数
设函数 f : Rnn  R,若 f 满足
f(A)  0, A Rnn , 且 f(A) = 0  A = 0
f(A) = || · f(A) ,  ARn , R
f(A+B)  f(A) + f(B)
f(AB)  f(A)f(B)
则称 f 为 Rnn 上的(矩阵)范数,通常记为|| · ||
矩阵范数
7
矩阵范数
常见的矩阵范数
(1) F-范数(Frobenious 范数)
(2) 算子范数(从属范数、诱导范数)
其中|| · || 是 Rn 上的任意一个范数
8
算子范数
常见的算子范数
③无穷范数(行范数)
② 2-范数(谱范数)
① 1-范数(列范数)
证明:③②板书,①为作业
例:设计算
9
矩阵范数性质
矩阵范数的性质
(1) 连续性:设 f 是 Rnn 上的任一矩阵范数,则 f 关于 A 的每个分量是连续的
(2) 等价性:设|| · ||s 和|| · ||t 是 Rnn 上的任意两个矩阵范数,则存在常数 c1 和 c2 ,使得对任意的 A Rnn 有
(3) 若 A 是对称矩阵,则
10