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第二章消费理论专题 - 华南师范大学经济与管理学院....doc

文档分类：经济/贸易/财会 | 页数：约68页举报非法文档有奖

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第二章:消费理论专题
对偶
Integrability定理
显示性偏好
不确定性条件下的消费选择
、对偶理论
意义:
效用最大化:
支出最小化:
当、时,效用最大化问题的解和支出最小化问题的解相同,即:
:支出函数和偏好关系
求证:
对已知的任意的函数,如果它满足支出函数的七个特征,则它是支出函数。即有:
准备知识:支出函数的七个特征:
在取最低效用水平时,支出函数为零
在定义域上连续
对于所有的,支出函数在上递增并且无上界
在价格上递增
在价格上一阶齐次性
在价格上为凹函数
如果效用函数严格拟凹,有谢菲尔德引理:
第一步:构造效用函数
第二步:证明满足支出函数特征的是支出函数,即有。

,,
超平面:
闭半空间:
闭集、凸集
.
.
.
闭集、凸集
定理::
用构造偏好关系
:支出函数效用函数:
函数满足支出函数的七个特征,,则由定义的函数递增、无上界、拟凹。
证明:,而意味着有,所以,有:
证明上述定义有意义,即
有解。
, 有最大值,
在上为增函数,所以在取最大值时,取最大值:。
证明递增:,有。
取和,有;
根据的定义,有,和
证明无上界:
证明拟凹:
取、,线性组合,
求证:
证明:设
在上递增,有
有
根据和的定义,有
:衍生效用函数支出函数
函数满足支出函数的七个特征,、无上界和拟凹函数。对于所有的非负价格和效用,如果有
则,函数为衍生效用函数导致的支出函数。
证明:
关键证明对于所有的,有:
①证明:
固定,,并设
根据的定义,有
函数满足支出函数七特征,在上递增,所以有,这适用于所有的,因此,对于任意给定的价格向量,对于任意的,有:
,其中满足
有, 满足
②证明:
在价格上一阶其次性,满足欧拉定理:
在价格上为凹函数,有:
,即
即:
得到:

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