高等数学A考试题.doc

高等数学A-2 (08级)
一、单项选择题(本大题共5小题, 每小题3分, 总计15分)()
1、设=( )

2、设区域则积分在极坐标下的累次积分为( )


3、设为球面,则对面积的曲面积分=( )
2 3 4
4、设级数收敛,则下列级数必收敛的为( )

5、设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意常数, 则该非齐次线性方程的通解是( )


二、填空题(本大题共5小题, 每小题3分,总计15分)
1、曲面在点处的切平面方程为__________________________。
2、设,由二重积分的几何意义知=____________。
3、设椭圆的周长为,则曲线积分=_________。
4、当______________________时,级数条件收敛。
5、若某三阶常系数线性齐次微分方程有解为,, ;则该三阶常系数线性齐次微分方程为__________________________________。
三、解答下列各题(本大题共4小题,每题7分,总计28分,每题要有必要的解题步骤)
1、设数量场
求:(1)函数在点处的梯度。(2)函数在点处方向导数的最大值。
2、计算二次积分。
3、求微分方程的通解。
4、计算积分,其中L是从点沿曲线到点的弧段。
四、解答下列各题(本大题共4小题,每题7分,总计28分,每题要有必要的解题步骤)
1、设,其中函数具有二阶连续的偏导数,试求,。
2、计算曲面积分,
其中为曲面,取下侧。
3、求幂级数的收敛域及和函数,并求数项级数的和。
4、设是周期为的周期函数,且(),试将展开成傅立叶级数。
五、解答题(本题8分)
已知曲线过点,曲线上任一点处的切线交轴于点,以为直径所作的圆均过点,求此曲线的方程。
六、证明题(本题6分)
已知正项级数收敛,证明数列收敛。
08级解答
一、单项选择题(本大题共5小题, 每小题3分, 总计15分)
1、 2 、 3、 4、 5、
二、填空题(本大题共5小题, 每小题3分,总计15分)
1 、 2、 3、 4、 5、
三、解答下列各题(本大题共4小题,每题7分,总计28分,每题要有必要的解题步骤)
1、设数量场
求:(1)函数在点处的梯度。(2)函数在点处方向导数的最大值。
解:(1); ………4分
(2),故在点处方向导数的最大值为。………7分
2、计算二次积分。
解:= ………4分
== ………7分
3、求微分方程的通解。
特征方程,对应齐次方程的通解为
(其中为任意常数) ………4分
因是特征根,设特解为,其中A为待定常数,代入原方程, 得………6分
从而得通解………7分
4、计算积分,其中L是从点沿曲线到点的弧段。
解:这里,。
由于,可见不成立。………2分
记,则。
则曲线积分满足与路径无关的条件,选择与L起终点相同的直线段,有
,而………6分
故所求积分。………7分
四、解答下列各题(本大题共4小题,每题7分,总计28分,每题要有必要的解题步骤)
1、设,其中函数具有二阶连续的偏导数,试求,。
解: ………3分
………7分
2、计算曲面积分
其中为曲面,取下侧。
解:取平面,,取外侧