频率特性理解.docx

频率特性的基本概念
在稳定的线性系统(或线性环节)的输入端作用一个正弦信号,当系统相对稳定后,系统的稳态输岀也必定是一个同频率的正弦信号。稳态输岀与输入的振幅比值以及它们之间的相位差取决于系统本身的结构和输入信号的频率。这种现象在如图 5频率特性的基本概念
在稳定的线性系统(或线性环节)的输入端作用一个正弦信号,当系统相对稳定后,系统的稳态输岀也必定是一个同频率的正弦信号。稳态输岀与输入的振幅比值以及它们之间的相位差取决于系统本身的结构和输入信号的频率。这种现象在如图 5-1所示的强迫振动实验中可以观察得到。
11br正盘辂人曽啓环1L戎転*伎E
(图5-1)
图中的系统为稳定的线性定常系统。当输入信号 R为
RQ)=Arsin纳
时,输出c在稳态时也为正弦信号
C(t)=(3+眄
两者的频率相同,但振幅和相位角不同。当输入信号的频率改变时,输出信号的振幅和相位角
会发生变化。
一、频率特性的数学本质
以上介绍的是频率响应特性(简称频率特性)的实验现象,下面我们将证明频率特性和传递函数之间的数学关系,以便可以很方便地由系统传递函数得到频率特性,反之也能够由频率特性得到传递函数。输出的拉普拉斯变换式为
b地广+&„ +A+
C(J)=G(s)A(s)= ~~仝&⑶
d:厂+口亠宀+?\卡①
设输入R(t)为正弦函数,表示为
由拉普拉斯变换表查得
c(f)=
冬bl务/-q丸匚碍“
部分分式中及B、D均为待定系数。
C(f)
二\/
C/-+
n
+以辿}
>1
对于一个稳定的系统,由于特征方程的所有特征根 匸均具有负实数部分,c〔f)的第一个分量总是
随着t的增长逐渐消失,系统最终将以
作稳态运动。上式恰恰是我们需要求解的,其中系数由上式得到
—pG")K—
同理
1*
将系数B、D代入,则
>,]4-GO宙)川吠虫氓J酣F】
& L4-——! 5 2
■0
二训2匸网他十二。0宓)一上]靱
=A/r(Jvy)|sin[+Z 」
式中
6=ZGQ劲二才』I
式中
Im为G(j3)的虚部,Re为G(j3)的实部。
而输出端响应的振幅和输入端的振荡之比为
输岀端响应和输入端的相位差为
『+ZGV)F=ZGV)=ZG(s)Im£j
由此可见,作用有正弦输入时的稳定线性定常系统, 输岀响应具有与输入同一频率的正弦稳定信号
但是输岀的振幅和相位角通常不等于输入量的振幅和相角,输岀响应的振幅是输入量的
岀响应和输入量相位差为。因此,系统的频率特性可以直接由G(j3)表示,系统的频率特性
式中〃'Qi:
二'、:%圧:」是3的函数,称为幅频特性,也是频率特性的模;
是3的函数,称为相频特性。
在上述数学推导中,我们可以清楚地看到
购)=
WiI■所以,在已知系统或环节的传递函数时,只要令
,」' ■=■im-r4 ■5 t*i-□r—I
宙,就可以很方便地得到系统或环节的频率特性。
为了进一步说明频率特性的意义,现以图
5-2所示的R-C电路为例
:-'4T'
图5-2
. iiii
.a""
频率特性可通过传递函数来求取,当电容两端电压
数可用复阻抗串联的知识求取
uc为输岀量,输入电压ui为输入量时,传递函
CS
'图占