平行四边形与特殊的平行四边形.doc

平行四边形与特殊的平行四边形
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平行四边形的性质与判定
一、总结平行四边形的性质与判定原理:
性质原理
判定原理
边
两组对边分别平行;
两组对边分别相等;
两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
两组对边分别相等的四
平行四边形与特殊的平行四边形
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平行四边形的性质与判定
一、总结平行四边形的性质与判定原理:
性质原理
判定原理
边
两组对边分别平行;
两组对边分别相等;
两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
角
3、对角相等;邻角互补;
4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
线
4、对角线互相平分。
5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
【问题1】我们学****平行四边形的性质是从哪几个方面来研究的?
从“边、角、线”三个方面,其中“线”指的是对角线。
【问题2】判定一个四边形是平行四边形必须有几个条件?
必须具备两个条件;注意判定原理5“对角线互相平分”也是两个等量。
图P-01
二、总结与平行四边形相关的性质:(注意,以下性质只可用来指导解证题,在填空、选择题中可直接使用,但在解答题中不可直接当作原理使用)
【平行四边形对角线相关性质】
平行四边形每一条对角线将其分成两个全等的
三角形;平行四边形的对角线将其分成四个面积
相等的小三角形;相对的两个小三角形全等;相
邻两个三角形的周长之差就等于边长之差。
如图P-01,点O是对角线AC、BD交点,则ABO、ADO、CDO、CBO的面积相等。依据是每相邻两个三角形都是“等底同高”。
〖练****如图P-01,点O是对角线AC、BD交点,若S⊿ABO=2,则
S⊿ABD=;SABCD=
⒉如图P-01,点O是对角线AC、BD交点,则图中共有对全等三角形。
⒊如图P-01,已知,ABCD的周长为28,点O是对角线AC、BD交点,ABO的周长比CBO的周长多4,则AB=,BC=
图P-02
⒋如图P-01,点O是对角线AC、BD交点,已知AB=8,BC=6,⊿ABO的周长为17,则CBO的周长=
在平行四边形内,过对角线交点且两端点在
平行四边形边上的线段一定被对角线交点平分;
如图P-02,点O是对角线AC、BD交点,线段
EF过点O,则OE=OF;证AEO≌CFO即可
〖练****如图P-02,ABCD中,EF过对角线交点O,
3
若AB=5,BC=4,EO=3,则四边形CDEF的周长为
4
图P-07
⑥一条角平分线与平行线相交时常会出现等腰三角形;
如图P-07,AB∥CD,∠1=∠2,则易证
∠1=∠3,∴∠2=∠3,得等腰AED
〖练****如图P-08,在ABCD中,AB=7,AD=3,
∠DAB的的平分线交CD于E,交BC的延长线
图P-08
于F,求CF长
⒉如图P-09,ABC中,∠ABC与∠ACB的角
图P-09
平分线交于点F,DE∥BC且过点F
求证:DE=BD+EC
【中位线相关性质】
⑦三角形中位线原理:三角形的中位线平行且等于第三边的一半;
三角形中位线原理推论:过三角形一边中点且平行另一边的直线必平分第三边。
图P-10
如图P-10,D、E分别为AB、AC中点,则有:
DE∥BC,DE=BC;若已知D为AB中点,
DE∥BC,则有:AE=CE
〖练****证明三角形中位线原理推论
已知:
求证:
证明:
5
⑧三角形的三条中位线将原三角形分成的四个小三角形的全等,周长都等于原三角形周长的一半,面积都等于原三角形面积的1/4。
图P-11
如图P-11,D、E、F分别是ABC三边中点,则图中
四个小三角形都全等,且面积都等于ABC面积的1/4;
周长都等于ABC周长的1/2;
图中共有3个平行四边形。
〖练****如图P-11,D、E、F分别是ABC三边中点,
AB=6,AC=7,BC=10,则DEF的周长为
图P-12
三、典型题例与解题思路
【例1】如图P-12,ABCD中,E、F为AC上两点,
且AE=CF,求证:四边形DEBF是平行四边形
〖思路分析〗
本类题型是在平行四边形中求证某四边形是平行
四边形,证题思路较有规律,都是先由原平行四边形得
到一些条件,再证得其它条件,或由全等三角形或由平
行四边形的判定原理得到所要求证的四边形是平行四边形。
在证本类题型时,首先要想清楚自己要选用哪种方法(原理)来证。几何证明题的方法往往有多种,不一定要是最简单的,但在找条件时不能乱,不要所有能用的不用的都写上去。以本题为例,我们要证BFDE,可以选用的方法有“两组对边分别相等”、“