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投资的收益和风险
1 问题的提出
现在我们有一定的资金,想在市场中进行投资,投资每个项目有一定的的收益和风险,怎么计划我们的投资使我们得到最大的收益,而使我们所经历的风险最小是一个值得讨论的问题。现在我们把该问题转化为数学形式进行分析和讨论。
市场上有n中资产S(i=1,2,……,n)可以选择作为投资项目,现用数额为M的相当大的资金作一个时期的投资。这n中资产在这一时期内购买S的平均收益率为r,风险损失率为q,投资越分散,总的风险越小,总体风险可以用投资的S中最大的一个风险来度量。
购买S时要付交易费(费率p),当购买额不超过给定值u时,交易费按购买u计算。另外,假设同期银行存款利率是r( r=),即无交易费又无风险。
试给该公司设计一种投资组合方案,即用给定的资金M,有选择的购买若干种资产或存银行生息,使净收益尽可能大,且总体风险尽可能小。
2 基本假设
1 投资数额相当大,为了方便计算,假设M=1;
2 投资越分散,总的风险越小;
3 总体风险用投资项目S中最大的一个风险来度量;
4 n中资产S之间是相互独立的;
5 在投资这一个时期内,r,q,p,r为定值,不受以为因素影响;
6 净收益和总体风险只受r,q,p影响,不受其他因素干扰。
3 符号设定
S——第 i中投资项目,如股票,债券
r,q,p——分别为S的平均收益率,风险损失率,交易费率
u——S的交易定额 r——同期银行利率
x ——投资项目S的资金——总体收益的增量
Q——总体收益
4 模型分析与模型建立
1 总体风险用所投资的S中的最大一个风险来衡量,即max{q x|i=1,2, …,n}.
2 购买S所付交易费是一个分段函数,即
交易费=
,
而问题所给定的定值u(单位:元)相对投资M很小,pu更小,可以忽略不计,这样购买的净收益为(r —p )x。
3 要使净收益尽可能大,总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型:
目标函数: max
in{max{}}
约束条件 x>=0, i=1,2, …,n
4 模型简化:
a. 在实际投资中,投资者承受风险的程度不同,若给定一个界限a,使最大的一个风险q x/M<=a ,可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线形规划。
模型1 :固定风险水平,优化收益
目标函数:Q=max
约束条件:
, x>=0, i=1,2, …,n
b. 若投资者希望总盈利至少达到水平以上,在风险最小的情况下寻找相应的投资组合。
模型2 固定盈利水平,极小化风险
目标函数:R=min{max{}}
约束条件:
, x>=0, i=1,2, …,n

,希望选择一个令自己满意的投资组合,因此对风险收益赋予权重,称为投资偏好系数。
模型3 引进权重
目标函数:min S{max{}}-----(1---S)
约束条件: x>=0, i=1,2, …,n
5 模型的求解
我们给出一些数据,按照模型1进行求解,数据如下:
投资项目S
平均收益r(%)
交易费率q(%)
风险损失率p(%)
交易定额u(%)
S1
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