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从数学直觉到演绎推理
【摘要】数学直觉是直觉思维在对数学知识理解上的主要表现形式,,数学直觉起了巨大的推动作用,因而,,阐述了从数学直觉发现结论,到演绎推理证明结论,再利用数学直觉发现新结论的完整过程,这样的过程正是数学得到发展必须经历的.
【关键词】数学直觉;卡布列克;黑洞数
直觉思维是人类一种重要的心理活动,指对一个问题不经过严密的逻辑分析,,是直觉思维在对数学知识理解上的主要表现形式,是人们根据已有的知识和经验,通过观察、联想、类比、归纳等活动,对数学结论做出迅速的判断,我们也将之称为合情推理.
在数学的漫长发展过程中,,从哥德巴赫猜想到孪生素数,,在中学数学的教学中,我们不能忽视对学生数学直觉思维的培养.
卡布列克是一名美国的数学家,他设计了一种神奇的运算:对于一个数字不完全相同的四位数,如果将数字重新排列,组成一个最大的数和一个最小的数,然后作差,产生一个新的四位数(如果差不是四位数,则用0补齐);将这个四位数中的数字重新排列,继续组成一个最大数和最小数,作差
……按照这样的运算法则,,发现总是得到一个稳定的结果:6 ,我们对数字2 566进行这样的运算,第一次得到的结果为4 266,第二次得到的结果为4 176,第三次便得到6 174;如果数字为2 561,第一次结果是5 265,第二次结果为3 996,第三次结果为6 264,第四次结果为4 176,第五次结果为6 ,依靠数学直觉,卡布列克大胆猜想:任意一个四位数,经过这样的运算,总会得到6 ,在尝试了几次后,他还认为最多经过七次,就可以得到6 174.
实际上,这样的过程如果交给学生去探索,完全可以引导学生猜测出这样的结论,?这个时候便可借助演绎推理来进行――,学生便经历了从数学直觉到演绎推理的过程,通过数学直觉发现结论,而通过演绎推理肯定结论.
那么,卡布列克的猜想是否合理呢?我们很容易证明:在这样的运算下,,从1 000~9 999,四位数一共只有9 000个,如果加上限制条件,,循环节是否只有6 174这一个数?是否存在一个数字需要通过8次或者8次以上的运算才能得到6 174?很多数学爱好者对此进行过证明,.
我们任意给出一个四位数,将其数字重新排列,不妨?O组成的最大数为abcd,其中满足9
≥a≥b≥c≥d≥0,那么最小数则为dcba,经过一次卡布列克运算,我们能得到
abcd-dcba=999(a-d)+90(b-c)=K1.
由条件知:a-d>b-c,否则会有a=b=c=d.
若a-d=1,则b-c=0,K1=0 999;
若a-d=