2.5 直线与圆锥曲线1.doc

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教学设计
盖州市第一高级中学
孙广超
《2-1直线和圆锥曲线的位置关系》教学设计
【三维目的】
1、知识和技能
(1)理解直线和圆锥曲线的三种位置关系;能根据直线、圆锥曲线的方程,判断直线和圆的位置关系;
(2)能用直线和圆锥曲线的方程解决一些简单的问题;
2、过程和方法
(1)经历知识的建构过程,培养学生独立考虑,自主探究,动手理论,合作交流的学****方式;
(2)强化学生用解析法解决几何问题的意识,培养学生分析问题和灵敏解决问题的才能及数形结合的思想。
3、情感态度和价值观
(1)让学生通过观察图形,理解并掌握直线和圆锥曲线的位置关系,培养学生数形结合的思想;
(2)加深对解析法解决几何问题的认识,激发学****热情,培养学生的创新意识和探究精神;
【重点难点】
1、重点:直线和圆锥曲线的位置关系和判断方法;
2、难点:体会和理解解析法解决几何问题的数学思想;
【教学根本流程】
知识归纳
变式训练
典例剖析
探究新知
创设情境
作业布置
【教学设计】
一、复****引入
回归教材
直线和圆锥曲线的位置关系
要解决直线和圆锥曲线的位置关系问题,可把直线方程和圆锥曲线方程联立,消去y(或消去x)得到关于x(或关于y):
Ax2+Bx+C=0(A≠0),Δ=B2-4AC.
假设Δ〈0,那么直线和圆锥曲线没有公共点;
假设Δ=0,那么直线和圆锥曲线有且只有一个公共点;
假设Δ〉0,那么直线和圆锥曲线有两个不同的公共点.
弦长公式
直线和圆锥曲线相交时,,>0时,直线和圆锥曲线相交,设交点为A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,那么直线被圆锥曲线截得的弦长
|AB|==|x1-x2|=·.
用点差法求直线方程
在给出的圆锥曲线f(x,y)=0中,求中点为(m,n)的弦AB所在直线方程时,一般可设A(x1,y1),B(x2,y2),利用A,B在曲线上,得f(x1,y1)=0,f(x2,y2)=0。两式相减,结合x1+x2=2m,y1+y2=2n,可求出kAB=,.
重点辨析
(1)假设在设直线方程时涉及斜率,要注意斜率不存在的情况,为了防止讨论,过焦点F(c,0)的直线可设为x=my+c.
(2)解方程组时,假设消去y,得到关于x的方程ax2+bx+c=0,这时
,要考虑a=0和a≠0两种情况,对双曲线和抛物线而言,一个公共点的情况要考虑全面,除a≠0,Δ=0外,当直线和双曲线的渐近线平行时,只有一个交点(Δ=0不是直线和抛物线(或双曲线)只有一个公共点的充要条件).
二、创设情境
问题1:假设过原点的直线l和双曲线-=1有两个不同交点,那么直线l的斜率的取值范围是( )
A。 B.(-,)
C. D.∪
【解析】 ∵-=1,其两条渐近线的斜率分别为k1=-,k2=,要使过原点的直线l和双曲线有两个不同的交点,画图可知,直线l的斜率的取值范围应是∪。
°的直线l通过抛物线x2=4y的焦点,且和抛物线相交于A,B两点,那么弦AB的长为________.
【解析】 直线l的方程为y=x+1,
由得y2-14y+1=0。
设A(x1,y1),B(x2,y2),那么y1+y2=14.
∴|AB|=y1+y2+p=14+2=16.
三、探究新知
=2py(p〉0)的焦点为F,其准线和双曲线-=1相交于A,B两点,假设△ABF为等边三角形,那么p=________.
解析 此题考察抛物线的几何性质,方程的思想.
不妨设A(x0,-),AB和y轴交于点D。
F(0,),FD=p,可解得A(,-).
在Rt△DFA中,tan30°=,∴=.
∴p2=36,p=6.
此题利用△AFB为正三角形,转化为解决Rt△FDA中问题求
=ax2-1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,那么实数a的取值范围是________.
解析 设抛物线上的两点为A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=x+b,代入抛物线方程y=ax2-1,得ax2-x-(b+1)=0。设直线AB的中点为M(x0,y0),那么x0=,y0=x0+b=+(x0,y0)在直线x+y=0上,故x0+y0=0,由此解得
b=-,此时ax2-x-(b+1)=0可变形为ax2-x-(-+1)=0
1+4a(-+1)〉0,解得a>。
四、典例剖析、授人以渔
题型一 直线和圆锥曲线的位置关系
例1 (2021·湖南文)抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b〉0)的一个焦点,,B两点,和C2相交于C,D两点,且和同向.
(1)求C2的方程;
(2)假设|AC|=|BD|,求直线l的斜率.
【解析】 (1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1, ①
又C1和C2的公共弦的长为2,C1和C2都关于y轴对称,且C1的方程为x
2=4y,
由此易知C1和C2的公共点的坐标为(±,),
所以+=1, ②
联立①②得a2=9,b2=8,故C2的方程为+=1.
(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).
因为和同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而
x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=
(x3+x4)2-4x3x4. ③
设直线l的斜率为k,那么l的方程为y=kx+1.
由得x2-4kx-4=0,而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4, ④
由得(9+8k2)x2+16kx-64=0,而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-,x3x4=-, ⑤
将④⑤代入③,得16(k2+1)=+,即
16(k2+1)=,
所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,
即直线l的斜率为±。
【答案】 (1)+=1 (2)±
题型二 对称问题
例2 试确定m的取值范围,使得椭圆+=1上有不同两点关于直线y=4x+m对称.
解:设椭圆上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=4x+m对称.
设AB的中点为P(x0,y0),
那么又由
得+=0.
∴+·(-)=0。
∴y1+y2=3(x1+x2),得y0=3x0.
代入y0=4x0+m,得x0=-m,∴y0=-3m。
∵点C在椭圆+=1内,∴+<1.
∴m∈.
探究2 :设对称两点所在的直线方程和圆锥曲线方程联立,由Δ〉0建立不等关系,再由对称两点的中点在所给直线上,建立相等关系,由相等关系消参,由不等关系确定范围.
题型三 面积问题
例3 点A(0,-2),椭圆E:+=1(a〉b〉0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l和E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
【解析】 (1)设F(c,0),由条件知,=,得c=.
又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.
又点O到直线PQ的间隔d=,
所以△OPQ的面积S△OPQ=d|PQ|=.
设=t,那么t〉0,S△OPQ==。
故E的方程为+y2=1。
探究3 和面积或最值一起综合考察是解析几何的常见题型,其解法往往是先建立目的函数的解析式,从而转化为函数问题.
五、变式训练
1、A,B为抛物线C:y2=4x上的两个不同的点,F为抛物线C的焦点,假设=-4,那么直线AB的斜率为( )
A.± B.±
C.± D.±
2.(2016·南阳模拟)设F1,F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线和椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2的面积最大时,·的值等于( )

D.-2
六、知识归纳
,到达优化解题思维,简化解题过程.
,借助弦长公式来求参数的值,利用判别式可求参数范围。
七、作业布置
对应练****册作业
八、教学反思
1、本节课主要内容是如何运用坐标法判断直线和圆锥曲线的位置关系,通过实例,让学生观察分析,合作探究,类比归纳,形成知识体系,帮助同学们养成良好的学****态度,培养勤奋刻苦的精神;
2、学****过程中,要使学生理解判断方法,并会灵敏应用。要鼓励学生积极参和教学活动,包括思维的参和和行为的参和,既要有老师的讲授和指导,也要有学生的自主探究和合作交流,把课堂还给学生,引导学生主动探究和考虑,让学生真正参和到课堂中来.