初三《圆》章节知识点总结2023年.11.docx

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初三《圆》章节学问点总结201*.
《圆》章节学问点复****br/>《圆》章节学问点复****br/>一、圆的概念
集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:
1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
(补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫
中垂线);
3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内dr点C在圆内;2、点在圆上dr点B在圆上;3、点在圆外dr点A在圆外;
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离dr无交点;2、直线与圆相切dr有一个交点;3、直线与圆相交dr有两个交点;
ArBdCdOrdd=rrd
四、圆与圆的位置关系
《圆》章节学问点复****br/>外离(图1)无交点dRr;外切(图2)有一个交点dRr;相交(图3)有两个交点RrdRr;内切(图4)有一个交点dRr;内含(图5)无交点dRr;
dR图1rRdr图2dR图3r
d五、垂径定理
图4RrdrR图5垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:
①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在⊙O中,∵AB∥CD∴弧AC弧BD
六、圆心角定理
COABCBADOED《圆》章节学问点复****br/>圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,
只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,即:①AOBDOE;②ABDE;
③OCOF;④弧BA弧BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即:∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角∴AOB2ACB2、圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;
即:在⊙O中,∵C、D都是所对的圆周角∴CD
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。
即:在⊙O中,∵AB是直径或∵C90∴C90∴AB是直径
推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
即:在△ABC中,∵OCOAOB
∴△ABC是直角三角形或C90
BOCAOEFDCBCBOADCBOACBOAA注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
《圆》章节学问点复****br/>圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。即:在⊙O中,
∵四边形ABCD是内接四边形
∴CBAD180BD180DAEC
九、切线的性质与判定定理
(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不行即:∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线
OCDBAE(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推肯定理:
即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个。
十、切线长定理切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即:∵PA、PB是的两条切线∴PAPB
PBMANOPO平分BPA
十一、圆幂定理
BOPCADA《圆》章节学问点复****br/>(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。即:在⊙O中,∵弦AB、CD相交于点P,∴PAPBPCPD
(2)推论:假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即:在⊙O中,∵直径ABCD,∴CEAEBE
(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即:在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线∴PAPCPB
(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。
即:在⊙O中,∵PB、PE是割线∴PCPBPDPE
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦。
如图:O1O2垂直平分AB。
即:∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点∴O1O2垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式:
(1)公切线长:RtO1O2C中,AB2CO12O1O22CO22;
(2)外公切线长:CO2是半径之差;内公切线长:CO2是半径之和。十四、圆内正多边形的计算
C22CBOEDAADPCOBEAO1BO2的
ACO2BO1-5-
OBAD《圆》章节学问点复****br/>(1)正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在RtBOD中进展:OD:BD:OB1:3:2;
(2)正四边形
同理,四边形的有关计算在RtOAE中进展,OE:AE:OA1:1:2:
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形:(1)弧长公式:lABOACEDnR;180OSlnR21(2)扇形面积公式:SlR
3602Bn:圆心角R:扇形多对应的圆的半径l:扇形弧长S:扇形面积
2、圆柱:
(1)圆柱侧面绽开图
2S表S侧2S底=2rh2r
ADD1母线长底面圆周长B(2)圆柱的体积:Vrh
(2)圆锥侧面绽开图
O2CB1C1(1)S表S侧S底=Rrr
212(2)圆锥的体积:Vrh
3ARCrB
扩展阅读:初三《圆》章节学问点总结201*.
新初四暑期圆学问点总结周若楠
一、圆的概念
集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:
1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
(补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内dr点C在圆内;2、点在圆上dr点B在圆上;3、点在圆外dr点A在圆外;
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离dr无交点;2、直线与圆相切dr有一个交点;3、直线与圆相交dr有两个交点;
ArBdCdOrdd=rrd
四、圆与圆的位置关系
外离(图1)无交点dRr;外切(图2)有一个交点dRr;相交(图3)有两个交点RrdRr;内切(图4)有一个交点dRr;内含(图5)无交点dRr;
新初四暑期圆学问点总结周若楠
dR图1rR图2drdR图3r
d五、垂径定理
图4RrdrR图5垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
A推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在⊙O中,∵AB∥CD∴弧AC弧BD
六、圆心角定理
圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,
ECOADOBCBED只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,
F即:①AOBDOE;②ABDE;
③OCOF;④弧BA弧BD
AODC
-2-
B新初四暑期圆学问点总结周若楠
七、圆周角定理
1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即:∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角∴AOB2ACB
BOAC2、圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;即:在⊙O中,∵C、D都是所对的圆周角∴CD
BDCOAC推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。即:在⊙O中,∵AB是直径或∵C90∴C90∴AB是直径
CBOA推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。即:在△ABC中,∵OCOAOB
∴△ABC是直角三角形或C90
注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。即:在⊙O中,
∵四边形ABCD是内接四边形
∴CBAD180BD180DAEC
九、切线的性质与判定定理
(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不行即:∵MNOA且MN过半径OA外端
MANOBOACDBAE新初四暑期圆学问点总结周若楠
∴MN是⊙O的切线(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推肯定理:
即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个。
十、切线长定理切线长定理: