高中数学考点专题4.1等差数列与等比数列(解析版).docx

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一、选择题:一共 12道题,每小题 5分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.【四川省绵阳市
2020届高三上期第一次诊断性考试数学(理)
】
等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3
2,S3
3,则a6(
)




【答案】B
a3
a1
2d
2,
a1
0
a15d5
【解析】由题意得:
S3
3a1
3d
3,
d
,所以a6
1
【方法总结】此题考查数列,涉及到等差数列的基本性质。需要我们熟练记忆等差数列的基本性质。属于
基础题目。
2.【四川省资阳市
2020届高三上期第一次诊断性考试数学(理)
】
已知等差数列{an}
a4a66
,则S7
()




【答案】B
【解析】据已知得:
a2a4a66,所以a4
2,S7
7a1
a7
7a4
14
2
【点睛】本题考查等差数列的性质,考查了等差数列的前
n项和和等差中项,是基础的计算题.
3.【2019-2020学年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三年级上学期期中考试理科数学】
已知等差数列
n
的公差为d,前
n
项和为Sn,则“d≤0
”是“S8
S102S9”的(
)
a


【答案】

B
【解析】

S8

S10

2S9

d 0
【方法点评】考查等差数列的前

n项和,基础题
4.【四川省成都市第七中学

2019届高三

6月

1日高考热身考试】
已知等差数列

an

中,

a2

4,a5

7,m,n

N

,满足

a1m

a2m

a3m

L

anm

anm1,则

n等于(

)
A. 1

和2

B. 2和3

C. 3和

4

D. 2和4
2020年高中《数学》精选考点专项突破题集
【答案】B
【解析】由题意得公差d
7
4
1,an4
n2
1n2,即3m
4m
m
m
n2
n3,代
5
2
入验证得当{m
2或{m
3
时成立,选B.
n
2
n
3

an
的前n项和,Sn
n2
,则an
是(
)
,但不是等差数列
,但不是等比数列
,而且也是等比数列
【分析】由Sn n2知Sn是n的二次函数,并且缺少一次项和常数项 ,符合等差数列的求和公式的形式 .
【答案】B
【解析】用到上述方法 ,一下子就知道答案为 B,大大 节约了时间,同时大大提高了命中率.
【方法总结】①若数列通项
an能表示成anan
b(a,b为常数)的形式,则数列
an是等差数列;
若数列an
的前n项和Sn能表示成S
an2
bn(a,b为常数)的形式,则数列an
等差数列;
n
②若通项
n1
n
(c,q
0
,
)
,
an
an
能表示成a
cq
均为不为
的常数
n
N
是等比数列.
的形式则数列
若Sn能表示成SnAqn
A(A,q均为不等于
0的常数且q≠1)的形式,则数列
an
是公比不为1的等比数
列.
6.【广东郴州市 2019届高三第二次教学质量监测试卷】
在 ABC中,A1,B1分别是边BA,CB的中点,A2,B2分别是线段 A1A,B1B的中点,L,An,Bn分别是线段
An1A,Bn1B(nN*,n
uuuuur
uuur
uuur
*),有下列四
1)的中点,设数列{an},{bn}满足:向量BnAn
anCA
bnCB(nN
个命题,其中假命题是:(
)
{an}是单调递增数列
,数列{bn}是单调递减数列
{an+bn}是等比数列
{an}有最小值,无最大值
bn
90o
uuuuur
1
,C
,CACB,|BnAn|,则最小时,anbn
2
【答案】C
2020年高中《数学》精选考点专项突破题集
【解析】由
uuuur
(1
1
uuur
(1
1
uuur
uuuruuuur
1
uuuruuuuur
uuuur
uuuur
(1
1
uuur
(
1
uuur
BAn
2
n)BA
2
n)(CA
CB),BnB
2
n
CB,BnAn
BnB
BAn
2
n)CA
n1
1)CB,
2
所以an
1
1
1
1,
2
n,bn
2
n1
所以C为假命题,故选C.
7.【贵州省凯里市第一中学
2019届高三下学期一模】
已知
a
的前n项和为Sn
2
n1
m,且a1,a4,a52成等差数列,
bn
an
,数列
b
的
n
an
1
an1
1
n
前n项和为Tn,则满足Tn
2017的最小正整数n的值为(
)
2018




【答案】C
【解析】a1
S1
4
m,当n
2时,
an
Sn
Sn1
2n,由a1,a4,a5
2成等差数列可得
2a4
a1
a5
2,即
2
24
4
m25
2
,解得m
2,故an
2n,
则bn
an
1
1
,故
an
1an11
2n12n1
1
Tn
1
1
1
1
L
1
1
1
1
,由Tn
2017
得
22
1
22
1
23
2n
1
2n1
1
2018
1
2n11
1
1
1
2017,即2n
1
2019,则n
1
11,即n
10,故n的最小值为10.
2n1
2018
8.【2018浙江】
已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1
a2a3a4ln(a1
a2
a3).若a1
1,则(
)

a3,a2
a4

a3,a2
a4

a3,a2
a4

a3,a2
a4
【答案】B
【解析】(方法一)
因为lnx≤x
1(x
0),所以a1
a2a3
a4
ln(a1a2
a3)
≤a1
a2a31,所以a4≤1
,又a1
1,所以等比数列的公比
q0.
2020年高中《数学》精选考点专项突破题集
若q≤
1,a1
a2
a3
a4
a1(1q)(1
q2)≤0,
而a1
a2
a3≥a1
1,所以ln(a1
a2
a3)
0,
与ln(a1
a2
a3)
a1
a2
a3
a4≤0矛盾,
所以
1
q
0
,所以
2
2
1
a
3
1
q)0
,
a2a4
a1q(1
q
)
0
,
a
a(1
所以a1
a3,a2
a4,故B.
(方法二)
因ex≥x
1,a1
a2
a3
a4
ln(a1
a2a3),
所以ea1
a2a3a4
a1a2
a3≥a1
a2
a3
a4
1,a4≤1,
又a1
1
,所以等比数列的公比
q
0
.
若q≤
1,a1
a2
a3
a4
a1(1q)(1
q2)≤0,
而a1
a2
a3≥a1
1,所以ln(a1
a2
a3)
0
与ln(a1
a2
a3)
a1
a2
a3
a4≤0矛盾,
所以
1
q
0,所以a1
a3
a1(1
q2)0,a2a4
a1q(1
q2)
0,
所以a1
a3,a2
a4,故B.

足an
1
(1)nan
2n
1,
an
的前60和(
)




【答案】D
【解析】(方法一)有知
a2
a1=1,①a3
a2=3②
a4a3=5③
a5a4=7,a6
a5=9,
a7
a6=11,a8a7=13,a9
a8=15,a10
a9=17,a11
a10=19,a12
a11
21,
⋯⋯
∴②-①得a1
a3=2,③+②得a4
a2=8,同理可得a5
a7=2,a6
a8=24,a9
a11=2,a10
a12=40,⋯,
∴a1
a3,a5
a7
,a9a11,⋯,是各均
2的常数列,a2
a4,a6
a8,a10
a12,⋯是首8,
公差16的等差数列,
2020年高中《数学》精选考点专项突破题集
∴{an}的前60项和为15
2
15
8
1
16
15
14=1830.
2
(方法二)可证明:
bn1
a4n1
a4n2
a4n3
a4n4
a4n3
a4n2
a4n2
a4n
16bn
16
b1
a1a2
a3
a4
10
S15
10
1515
1416
1830
2
(方法三)不妨设
a1
1,得a2
2,a3
a5
a7
1,a4
6,a6
10,所以当n为奇数时,an
1,
当n为偶数时,构成以
a2为首项,以
4为公差的等差数列,所以得S60
1830
n
1
10.
若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=
,则
5=(
)
n+1
a
5
6
1




【答案】D
【解析】当n≥2时,an
n
n-1
=
n
-n-1=
1
,∴
1
=5×(5+1)=30.
=S-S
n+1
n
n
n+1
a
5
,则数列
an
an
1
(
)



可能是等差数列【答案】D
【解析】若 an 1n,则an an1 0,此时 an an1不是比差数列,是等差数列,故选D.
12.【湖北省襄阳四中
2019高三11月适应性考试】
1
n2017
若数列
an
,
bn
的通项公式分别为a
n
1
n2016
a,b2
,且a
b
对任意nN*
n
n
n
n
恒成立,则实数 a的取值范围是( )
A.
1,1
B.
1,1
,1
D.
2,3
2
2
【答案】D
2020年高中《数学》精选考点专项突破题集
n
2017
【解析】an
bn,可得
1
n2016
1
,若n
a2
1
?a
2
是偶数,不等式等价于
恒成立,可
n
n
1
3
n
是奇数,不等式等价于
1
,即a2,a2
,所以-2
a
3
得a2
,若
a2
,综
2
2
n
2
上可得实数a
的取值范围是
2,3
,故选D.
2
二、填空题:一共
4道题,每小题
5分。
13【四川省资阳市
2020届高三上期第一次诊断性考试数学(理)
】
等比数列{an}
7,S6
63
,则S9
_________.
【答案】511
【解析】等比数列{an},S6
S3,S9
S6
........
还是等比数列。
所以S6S3
2
,解得:511
S3?S9S6
【点睛】考查等比数列,等比数列的前
n项和Sn。
14.【湖南省长沙市长郡中学
2019届高三第三次月考】
将正整数12分解成两个正整数的乘积有
112,
2
6,
3
4三种,其中3
4是这三种分解中两数差的
绝对值最小的,我们称
34

q(p
q且p,q
N*)是正整数n的最佳分解时,我
们定义函数f
n
q
p,例如f
12
43

3n
的前100项和为__________.
【答案】350
1
【解析】当n为偶数时,
f3n
f3n
n1
n1
n1
0;当n为奇数时,
32
32
232,
S100230
31
...
349
2
350
1
350
1,故答案为
350
1.
3
1
15.【辽宁省大连市旅顺中学、旅顺第二高级中学、大连市第三中学
2019届高三第二次联考】
设数列an中,a1
2,an
1
2
,bn
an
2
,n
N
*
,则数列
bn的通项公式为__________.
an
1
an
1
2020年高中《数学》精选考点专项突破题集
2
2
an1
2an
2an
4
an
2
【解析】bn1
1
2bn
,
an1
1
2
an
1
2
1
1
an
an
1
所以q2,b1
2,所以bn
2n1
.
【答案】2n1
16.【江苏省淮安中学
2019
届高三数学月考】
已知函数fn
n2cosn
,且an
f
n
f
n
1,则a1
a2
a3L
a100
__________.
【答案】-100
【解析】n为偶数时,
an
n2
n
1
2
2n
1
;n
an
n2
n
2
为奇数时,
12n1;
a1a2a3L
a100
35
7
9
L
199
201
2
50
100
三、解答题:一共 6道题,共 70分。
17.【2019-2020学年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三年级上学期期中考试理科数学】
已知Sn为等差数列
an的前n项和,a5
9,S13169.
(1)求数列
an的通项公式;
(2)设bn
ann,求数列
bn的前n项和Tn.
3
【答案】(1)an
2n
1,(2)Tn1
n1
3n
【解析】(1)由S13
13a1a13
169得a7=13,2d=a7-a5=4,d=2,
13a7
2
故an=9+(n-5)·2=2n-1.
(2)bn
2n
1,Tn
11
31
51
L
2n1
1
3n
3
32
33
3n
1
1
1
3
1
5
1
L
2n
3
1
2n
1
Tn
33
34
3n
1
3
32
3n1
于是2Tn
1
2
11
L
1
2n1
1
3
3
32
33
3n
3n1
1
1
1
1
n1
2n
1
2
2n
2
29
3
,故Tn
1
nn1.
3
3
n1
3
n1
1
3
3
1
3
2020年高中《数学》精选考点专项突破题集
18.【百校联盟2020届TOP300十月尖子生联考理科数学】
已知数列{an}的通项an=2n-1(n∈N*),数列{bn}为等比数列,且 bn,an,bn+1成等差数列.
1)求数列{bn}的通项;
2)设cn=bn·log2an+1,求数列{cn}的前n项和Sn.
【解析】(1)“数列{bn}为等比数列,且 bn,an,bn+1成等差数列.
bn+bn+1=2an=2n,
设数列{bn}的公比为q,
b1
b2
2
b11q2
b1
2
,解得
3,
∴
b3
,∴
b2
4
b2q1q4
q2
2
n
∴bn
n1
2
(n∈N*).
3
2
3
n
(2)∵cn
bn
log2an1
2
n(n∈N*).
3
∴Sn
1
121
1
222
1
323
L
1
n12n1
1
n2n,
3
3
3
3
3
∴2Sn
1
122
1
223
1
324
L
1
n12n
1
n2n1,
3
3
3
3
3
∴Sn
1
1
1
2
1
3
1
n1
1
n
1
n1
3
12
3
12
3
12L
3
12
3
12
3
n2
1
2
1
2n
1
n
2n
1
1
2
3
3
1
1
n
2n1
2
,
3
∴Sn
1
n
1
2
(n∈N*).
3
n12
19.【安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校(
K12联盟)2018届高三上学期期末】
已知数列
an
满足an1
1
an
1,an
1且a1
1
.
an
2
(1)求证:数列
1
是等差数列,并求出数列
an
的通项公式;
an
1
(2)令bn
an
1,cn
1
n1
cn
的前2018
项和S2018.
nbnbn
1,求数列
【解析】(1)an
1
1
an
1,an
1且a11,
an
2
2020年高中《数学》精选考点专项突破题集
∴
1
an
2
,即
1
an
11
,∴
1
1
1,
1
an11
an1
an11an1
an11an
数列
1
是等差数列,∴
1
1
n
1
1,
an
1
2
1
an
∴
1
2n1,∴an
32n.
an
1
2
2n
1
(2)由(1)知bn
2
,∴cn
n
1
1
n1
2
2
2n
1
1
nbnbn
1
n
2n1
,
2n1
∴cn
n
1
1
1
,
2n1
2n1
S2018
1
1
1
1
1
1
1
1
4036
3
3
5
5
7
2
2018
1
2
2018
1
.
4037
20.【四川省成都市成都第七中学万达学校高
2020届高三(上)第一次月考数学】
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d
0,且a2a3
40,a1
a4
13,公比为q(0
q1)等比
数列{bn}
中,b1,b2
,b3
{1,1,1,1,1}
60
32
20
8
2
(1)求数列{an},{bn}
的通项公式an,bn;
(2)若数列{cn}满足cn
an
bn,求数列{cn}的前n项和Tn。
1
2n1
1
2
1
【答案】(1)

n3n
1
2
(2)
2
3
4n
【解析】(1)由题意可得:等差数列
(a1
d)(a1
2d)
40,
a1
2,
{an},
2a1
3d
13.
d
an3n1.
3
因为等比数列
{bn}中,b1,b2,b3
{1
,1
,
1
,1,1},q(0
q
1),
60
32
20
8
2
1,b21,b3
1.
b1
1
,
1?1
n1
1
2n1
2
所以b1
bn
.
2
8
32
1
2
4
2
q.
4
1
2n
1
(2)cn
an
bn=3n1
.
2
2020年高中《数学》精选考点专项突破题集
1
1
n
1
Tn
n23n1
2
4
n3n121
1
1
2
1
2
3
4n
4
21.【浙江省温州市 2019—2020学年11月份普通高中高考适应性测试一模数学试题】
已知等差数列 an 的首项a1 1,数列 2an 的前n项和为Sn,且S1 2,S2 2,S3 2成等比数列.
(1)求通项公式
an;
(2)求证:1
an
an
L
an
1
n
(n
N*);
n
a1
a2
an
n1
【解析】
(I)记d为{an}的公差,则对任意
n
N
,
2an1
2an1
an
2d,
2an
即{2an}为等比数列,公比
q
2d
0.
由S1
2,S2
2,S32成等比数列,得
(S2
2)2
(S1
2)(S3
2),
即[2(1
q)
2]2
(2
2)[2(1
q
q2)
2],解得q
2
,即d
1
.
所以an
a1
(n
1)dn,即an
n(n
N);
(II)由(I),即证:
1
1
L
1
n(1
n
1
)(n
N).
1
2
n
n
下面用数学归纳法证明上述不等式 .
①当n 1时,不等式显然成立;
②假设当n
k(k
N
)时,不等式成立,即
1
1
1
k(1
k
1
L
k
k
),
2
1
则当nk
1时,1
1
L
1
1
1
k(1
k)
1
.
1
2
k
k
k1
k
1
因[
k(1
k
)
1
]
k
1(1
k
1)
k2
2k
k2
2k
1
0,
k
1
k
1
k
2
k
2
故
k(1
k
1
)
1
1
k
1(1
k
1).
k
k
k
2