最小二乘复频域法.doc

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最小二乘复频域法(PolyMax)
SX1201069虞刚
PolyMax模态鉴别方法,属于多自由度时域鉴别法,也称作多参照点最小二乘复
频域法(Polyreferenceleastsquarescomplexfrequencydomainmethod),是最小二乘
复频域法(LSCF)的多输入形式,是一种对极点和模态参预因子进行整体预计的多自
由度法,一般第一经过实验建立稳态图,以判断真实的模态频率、阻尼和参预因子;
建立可以线性化的直交矩阵分式模型,而后基于正则方程减少最小二乘问题,获取压
缩正则方程,于是模态参数可以经过求解最小二乘问题获取。该方法会集了多参照点
法和LSCF方法的长处,可以得出特别清楚的稳态图,而且密集空间可以被分别出来,
特别在模态较密集的系统(动力总成系统),也许FRF数据遇到严重噪声污染的状况下
仍可以建立清楚的稳态图,鉴别出高度密集的模态,对每一个模态的频率、阻尼和
振型都有很好的鉴别精度,是国际最新发展并流行的基于传达函数的模态解析方法。
其基本思想以下:
(1)建立频率响应函数模型
多参照点最小二乘复频域鉴别技术(PRLSCF或PolyMAX)要以频响函数矩阵作为
识其余初始数据,其数学模型采纳右矩阵分式模型来描述。在频域中,系统输出o
(
o,此中
1,2,N
0
N为输出点数)和所有输入的关系可用右矩阵分式模型(RMF)D
0
来描述,右矩阵分式模型的表达式为
1
Hoo(1)
UD
式中:
lN
H—理论频响函数的第o行,
oC
i
N是输入点数,即激励数;
i
lN
U—分子多项式行向量;
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oC
i
NiN
D—分母多项式矩阵。
oCi
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且
U和Do可以表示成以下形式:
o
N
U
oZB
ror
r0
(
o)(2)
1,2,N
0
D
N
oZA
rr
r0
(3)
式中:N—多项式阶次
此中分母系数矩阵
NiN
A和分子系数行向量
rR
i
lN
B是待预计的参数。所有这些
orRi
系数合并为一个矩阵。
T
1(4)
TTT
N
此中
B
o0
A
0
B
o1
oR
N1
N
i
,
A
1iN1N
N
oR
i
(5)
B
oN
A
N
式(2)和式(3)中出现的多项式基函数
Z,一般地,有以下两种选择:
r
ⅰ.关于连续时域模型,可取为
ji
Z(6)
r
s
式中:
1Ni
s—缩放因子,用来提升方程的数值状况。
2
ⅱ.关于失散时域模型,可取为
Z(7)
jTr
res
式中:
T—采样周期。
s
平时采纳失散时域模型。
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(2)参数的线性化
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经过试验丈量出的频率响应函数矩阵
~,用
NoN
HfC
i
~表示实测频响矩
1N
HoCi
f
阵的第o行,
o1,2,,,1,2,,,那么关于参数矩阵的非线性最小二乘(NLS)
NofN
f
目标函数可表示为
NN
of
nlstr
o1f1
NLS
o
f
H
,(8)
NLS
,
of
式中:H-矩阵的复共扼转置;
tr-矩阵的迹,即矩阵的主对角元素之和。
经过对式(8)求极小值,即可以获取频率响应函数矩阵的右分式矩阵模型各系数的
预计值,即矩阵的预计值。
式(8)中的加权非线性最小二乘偏差函数被定义:
~~
NLS1
o,WH,HWU,D,H
fofofofofofofo
f
(9)
上式中
W是一个加权函数。一般地,为了提升预计的质量,我们采纳
of
W
of
H
var
of
H
of
(10)
式中:var—方差,可用相关函数求取。也可使用公式
W
of
1
(11)
varH
of
来做加权函数的。这两种加权函数都考虑了丈量频响函数数据的利害:测得频响的
方差越小,对目标函数的贡献越大。
非线性偏差函数可以经过一个近似的办理为一个线性的问题。实质上,经过对
of右乘Df,,则可以获取一个关于参数为线性的方程,此加权线性最小
NLS
,
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二乘(LS)方程偏差LS,
of为
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LSNLS
,,D,ofoff
1
WU,D,HD,
ofofofoff
(12)
N
WzBzHA
ofrforrfor
r0
这款式(12)关于参数为线性,将所有频率点装置成一列,1,2,,
fN,它可用矩
f
阵形式来表示
LS
o
1,
XYoJo(13)LS
oooo
LS
oN
f
,
此中:
Wz,z,,z
o1o111N1
NN
XC
f
o
1
(14)
Wz,z,,z
oNoN1NNN
ffff
Wz,z,,zH
o1o111N1o1
NNN
YC
fi
o
1
(15)
Wz,z,,zH
oNoN1NNNoN
fffff
式中,—Kronecker积。
(3)减少标准方程
加权线性最小二乘预计表达式为
N
o
H
LSLS
tr
LSoo
o1
N
RS
o
TTooo
tr
oT
ST
o1oo
(16)
式中:
H
RReXXR
N1N1
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