人教版九年级下册数学《反比例函数的图象和性质》教学案.docx

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教学目标

会画反比例函数的图象,并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别,.

通过画图象,进一步培养“描点法”画图的能力和方法,,归纳反比例函数一些性质特征.
、态度与价值观
由图象的画法和分析,体验数学活动中的探索性和创造性,感受数学美,并通过图象的直观教学激发学****兴趣.
教学重点难点
重点:反比例函数图象的画法及探究,反比例函数的性质的运用.
难点:反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析.
课时安排2课时
第1课时
(一)创设情境,导入新课
问题:=
(2n1)(n
1)是反比例函数,则
n必须满足条件
n≠1
或n≠-1.
x
2
、描点、连线.
: (1)y=2x;(2)y=1-2x.
(二)合作交流,解读探究
问题:我们已知道,一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线, ?那么反比例函数 y=k
x
k为常数且k≠0)的图象是什么样呢?尝试用描点法来画出反比例函数的图象.
画出反比例函数 y=6和y=-6的图象.
x x
解:列表
x
⋯
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y=6
-1
-
-2
-6
3
x
y=-
1

3
6
6
x
(把表中空白填好)
描点,以表中各坐,在直角坐系中描出各点.
,用平滑的曲把所描的点依次接起来.
探究反比例函数 y=6和y=-6的象有什么共同特征?它之有什么关系?
x x
做一做把y=6和y=-6的象放到同一坐系中,察一下,看它是否称.
x x
反比例函数 y=6和y=-6的象的共同特征:
x
1)它都由两条曲成.
(2)随着x的不断增大(或减小),曲越来越接近坐( x、y).
(3)反比例函数的象属于双曲( hyperbola).
此外,y=6的象和 y=-6的象关于 x称,也关于 y称.
x x
做一做在平面直角坐系中画出反比例函数 y=3和y=-3的象.
x x
交流两个函数象都用描点法画出?
【分析】由 y=6和y=-6的象及y=3和y=-3的象知道,
x x x x
(1)它有什么共同特征和不同点?
2)每个函数的图象分别位于哪几个象限?
3)在每一个象限内,y随x的变化而如何变化?
猜想反比例函数 y=k(k≠0)的图象在哪些象限由什么因素决定? ?在每一个象限内,
x
y随x的变化情况如何?它可能与坐标轴相交吗?
【归纳】(1)反比例函数

y=k(k

为常数,

k≠0)的图象是双曲线.
x
(2)当k>0

时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内,

y?值随

x值
的增大而减小.
(3)当k<0

时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内,

y?值随

x值
的增大而增大.
(三)应用迁移,巩固提高
例题指出当k>0时,下列图象中哪些可能是 y=kx与y=k(k≠0)?在同一坐标系中的
x
图象()
【分析】对于

y=kx

来说,当

k>0

时,图象经过一、三象限,当

k<0

时,图象经过二、
四象限;对于

y=k来说,当

k>0

时,图象在一、三象限,当

k<0

时,图象在二、四象限,
x
所以应选 B.
【答案】B
备选例题
1.(2005年中考·泉州)请你写出一个反比例函数的
解析式,使它的图象在第一、三象限.
2.(2005年中考·宣昌)如图所示的函数图象的关系
式可能是(? )
=x

B

.y=

1

=x2

D .y=

1
x

|x|
(四)总结反思,拓展升华
.
.
k决定,且y值随x值变化只能在“每一个象限内”
研究.
=k(k≠0)中,由于 x≠0,同时y≠0,因此双曲
x
线两个分支不可能到达坐标轴.
(五)课堂跟踪反馈
夯实基础
y=k的图象如图所示,则 k>0,在图象
x
的每一支上, ?y值随x的增大而减小.
,是反比例函数的图象的是( D)
3.(2005年中考·东营)在反比例函数
y=k(k<0)的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,
y),且x>x
>0,则y-y
的值为(A)
x
2
2
1
2
1
(A)正数
(B)负数
(C)非正数
(D)非负数
提升能力
4.(2005年中考·苏州)已知反比例函数
y=k
2的图象在第一、三象限内,则
k的
值可是________(写出满足条件的一个
k值即可).
x
【答案】略
,若一点的横坐标与纵坐标互为倒数,
?则这点一定在函数图象上
y=1(填函数关系式).
x
y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则反比例函数 y=kb的图象一定
x
在二、四象限.
开放探究
?为什么?
【答案】不会相交,因为当 k1≠k2时,方程 k1=k2无解.
x x
(a,b)、B(a-1,c)均在反比例函数 y=1的图象上,若 a<0,则b<c.
x
第2课时
(一)创设情境,导入新课
老师在黑板上写了这样一道题: “已知点(2,5)在反比例函数 y=?的图象上,?试判
x
断点(-5,-2)是否也在此图象上.”题中的“??”是被一个同学不小心擦掉的一个数字,请你分析一下“?”代表什么数,并解答此题目.
(二)合作交流,解读探究
探究点(2,5)在反比例函数图象上,其坐标当然满足函数解析式,因此,代入后易求
得?=10,即反比例函数关系式为 y=10,再当x=-5时,代入易求得 y=-2,说明点(-5,?-2)
x
适合此函数解析式,进而说明点( -5,-2)一定在其函数图象上.
交流与同学们分享成功的喜悦.
(三)应用迁移,巩固提高
例1已知反比例函数的图象经过点 A(2,6)
(1)这个函数的图象分布在哪些象限? y随x的增大而如何变化?
(2)点B(3,4)、C(-21,-44)和D(2,5)是否在这个函数的图象上?
2 5
解:(1)设这个反比例函数为 y=k,因为它过点 A(2,6),所以把坐标代入得 6=k,
x 2
?解得k=12,此反比例函数式为 y=12,又因k=12>0,所以图象在第一、三象限,且在每个
x
象限内,y随x的增大而减小.
(2)把点B、C、D的坐标分别代入 y=12,知点B、
x
C的坐标满足函数关系式,点D?的坐标不满足函数关系式,所以点B、C在函数y=12的图象上,点D不在这个函数的
x
图象上.
例2(2005年中考·河南)三个反比例函数
1)y=k1(2)y=k2(3)y=k3在x轴上方的
x x x
图象如图所示,由此推出 k1,k2,k3的大小关系
【分析】由图象所在的象限可知, k1<0,k2>0,k3>0;在(2)(3)中,为了比较 k2与
k3的大小,可取 x=a>0,作直线 x=a,与两图象相交,找到 y=k2与y=k3的对应函数值 b?
x x
和c,由于k2=ab,k3=ac,而c>b>0,因而k3>k2>k1.
【答案】k3>k2>k1.
例3直线y=kx与反比例函数 y=-6的图象相交于点 A、
x
B,过点A作AC垂直于y轴于点C,求S△ABC.
解:反比例函数的图象关系原点对称,又 y=kx过原点,
故点A、B必关于原点对称,从而有 OA=OB,所以S△AOC=S△BOC.
设点A坐标为(x1,y1),则xy=-6,且由题意AC=│x1│,OC=│y1│.
故S△AOC=1AC·OC=1│x1y1│=1×6=3,
2 2 2
从而S△ABC=2S△AOC=6.
备选例题
1.(2005年中考·兰州)已知函数 y=-kx(k≠0)和y=-4的图象交于 A、B两点,过
x
点A作AC垂直于y轴,垂足为C,则S△BOC=_________.
2.(2005年中考·常德)已知正比例函数 y=kx和反比例函数 y=3的图象都过点 A(m,
x
1),求此正比例函数解析式及另一交点的坐标.
【答案】;=1x,(-3,-1)
3
(四)总结反思,拓展升华
反比例函数的性质及运用
1)k的符号决定图象所在象限.
2)在每一象限内,y随x的变化情况,在不同象限,不能运用此性质.
(3)从反比例函数 y=k的图象上任一点向一坐标轴作垂线, 这一点和垂足及坐标原点
x
所构成的三角形面积 S△=1│k│.
2
4)性质与图象在涉及点的坐标,确定解析式方面的运用.
(五)课堂跟踪反馈夯实基础

(1)反比例函数图象的每个分支只能无限接近 x轴和y轴,?但永远也不可能到达 x
轴或y轴.(∨)
(2)在

y=3中,由于

3>0,所以

y一定随

x的增大而减小.(×)
x
(3)已知点A(-3,a)、B(-2,b)、C(4,c)均在y=-2的图象上,则 a<b<c.(×)
x
(4)反比例函数图象若过点( a,b),则它一定过点( -a,-b).(∨)
=3
m的图象上有两点
A(x1,y1)和B(x2,y2),且当x1<0<x2时,
有y
x
m<3.
1
<y,则m的取值范围是
2
(1,3)在反比例函数y=k的图象上,则k=3,在图象的每一支上,
y随x?的增
x
大而减小.
=x的图象与反比例函数
y=k的图象有一个交点的纵坐标是
2,求(1)
x
x=-3
时反比例函数
y的值;(2)当-3<x<-1
时,反比例函数
y的取值范围.
【答案】(1)-4,(2)-4<9-4
3
3
提升能力
5.(2005年中考·资阳)已知正比例函数
y=k1x(k1≠0)与反比例函数y=
k2
(k2≠0)
x
?的图象有一个交点的坐标为(
-2,-1),则它的另一个交点的坐标是(
A)
A.(2,1)
B.(-2,-1)C
.(-2,1)
D.(2,-1)
6.(2005年中考·沈阳)如图所示,已知直线
y1=x+m与x轴、y?轴分别交于点A、B,
与双曲线y2=k(k<0)分别交于点C、D,且C点坐标为(-1,2).
x
1)分别求直线AB与双曲线的解析式;
2)求出点D的坐标;
3)利用图象直接写出当x在什么范围内取何值时,y1>y2.
【答案】(1)直:y=x+3,双曲:y=-2;(2)(-2,1);(3)-2<x<-1
x
=-2与y=-
2的象,并加以区.
x
|x|
【答案】略
开放探究
8.(2005年中考·湖州)两个反比例函数
y=3,6,在第一象限内的象如所示,
xx
点P1,P2,P3,⋯,P2005在反比例函数
y=6象上,它的横坐分是
x1,x2,x3,⋯,
x
x
2005
,?坐分
1,3,5,⋯,共2005年奇数,点
1
2
3
2005
P,P,P,⋯,P分作y
的平行,与y=
3的象交点依次是
Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),Q3(x3,y3),⋯,Q2005(x2005,
x
y2005),y2005=.