曲线曲面参数表示的基础知识.ppt

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1显式、隐式和参数表示
在工程上,曲线曲面的应用十分广泛。如根据实验、观测或数值计算获得的数据来绘制出一条光滑的曲线,以描述事物的各种规律。在汽车、飞机、船舶的等产品的外形设计中,要用到大量的曲线和曲面来描述其几何形状。
表示曲线和曲面的基本方法有两种:参数法和非参数法。
(1)非参数法
y=f(x)显函数(不能表示封闭或多值的曲线)
f(x,y)=0隐函数(方程的根很难求)
(2)参数法
x=f(t)y=g(t)求导很方便,不会出现计算上的困难
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对于非参数表示形式方式(无论是显式还是隐式)存在下述问题:
与坐标轴相关;
会出现斜率为无穷大的情形(如垂线);
对于非平面曲线、曲面,难以用常系数的非参数化函数表示;
不便于计算机编程。
值得一提的是,,计算其值是否大于、等于、小于零,能够容易判断出该点是落在隐式方程所表示的曲线(曲面)上还是某一侧。利用这个性质,在曲线曲面求交时将会带来莫大的方便。
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在几何造型系统中,曲线曲面方程通常表示成参数的形式,即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。
假定用t表示参数,平面曲线上任一点P可表示为:
P(t)=[x(t),y(t)];
   空间曲线上任一三维点P可表示为:
P(t)=[x(t),y(t),z(t)];
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最简单的参数曲线是直线段,端点为P1、P2的直线段参数方程可表示为:
P(t)=P1+(P2-P1)tt∈[0,1];
   圆在计算机图形学中应用十分广泛,其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示为:
其参数形式可表示为:
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在曲线、曲面的表示上,参数方程比显式、隐式方程有更多的优越性,主要表现在:
(1)可以满足几何不变性的要求。
(2)有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为:
只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为:
有8个系数可用来控制此曲线的形状。
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(3)对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换,必须对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换;而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。
(4)便于处理斜率为无穷大的情形,不会因此而中断计算。
(5)参数方程中,代数、几何相关和无关的变量是完全分离的,而且对变量个数不限,从而便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量。
(6)规格化的参数变量t∈[0,1],使其相应的几何分量是有界的,而不必用另外的参数去定义边界。
(7)易于用矢量和矩阵表示几何分量,简化了计算。
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有一空间点A,从原点O到A点的连线表示一个矢量,此矢量称为位置矢量。
空间一点的位置矢量有三个坐标分量,而空间曲线是空间动点运动的轨迹,也就是空间矢量端点运动形成的矢端曲线,其矢量方程为:
2参数曲线的定义及其
位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率
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此式也称为单参数的矢函数。它的参数方程为:
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规范化区间
若t的区间:[a,b],如果把它转换为[0,1]
,如何做?
方法(相似性,比例不变):
t’=(t-a)/(b-a),则t’[0,1]
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