矩阵与线性代数.pdf

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矩阵与线性代数
一、矩阵是从解决实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念,也是重
要的数学工具。在解线性方程组和n维向量组的计算以及经济生产计
算中起着重要作用。本****题集只对其作一些基本介绍,作一些矩阵计
算的****题。
矩阵在形式上好像与行列式相同,也有行和列,但其实它与行列
式完全不同。行列式有其数值,而矩阵就是一个矩形数表也可以是一
个方形数表,这时也叫‘方阵’。然而,矩阵也不是与行列式一点联系
也没有,在求逆矩阵时就要用到它的行列式;同样矩阵也与行列式一
样能用来解多元线性方程组而且更方便。
矩阵也可以作加减运算,也可以做乘的运算等等。为了在形式上
与行列式区别,矩阵的写法是用[]或()把数表括起来,而不是像
行列式那样用两条竖线括起来。
:mn个数a(i1,2,.....m;j1,2,....n)排列成m行n列的矩形阵表,
ij
aa...a
11121n

aa...a
称为m21222n,矩阵内的每个数a称为矩阵元素,
............ij

aa...a
m1m2mn
不论元素写成什么符号,和行列式一样,元素的第一个下标表明它所在
的行,,B,C„
矩阵A,,也可写成矩阵A或A
mnmn
矩阵内的元素全为0,称为0矩阵;矩阵内由左上角到右下角称为
225:.
‘主对角线’,如果主对角线上的元素全为1,而其它元素全为0,则
该矩阵是单位矩阵,记为E;把一个矩阵内的所有元素变号,称为原矩
阵的负矩阵。只有一列的矩阵称为‘列矩阵’,只有一行的矩阵称为‘行
矩阵’。

一、矩阵相等
定义:设矩阵A与矩阵B是两个矩阵,若对应位置上的元素分
mn
别相等,则称A与B相等。记作A=B
矩阵相等是指两个矩阵对应位置上的元素都相等,与行列式的相等
不是一个概念。两个行列式对应位置上的元素,既使不相同但如果两
个行列式的值相等,我们就说这两个行列式相等。但矩阵没有值,只
能是对应位置上的元素全都相同,才是两个矩阵相等。所以只有同阶
矩阵才能说它们是否相等。
二、矩阵的加减法
两个矩阵相加减,是指它们的对应元素分别相加减而得到的和与差
分别列到原来的元素位置上而得到的新矩阵,即为两个矩阵的和与差。
123123
如:A=,B=

201101
112233000
A+B=

210011300
112233246
A-B=

210011102
226:.
所以只有两个矩阵是同阶矩阵才能相加减,不是同阶不能相加减。
加减过后所得的和与差,仍然与原矩阵是同阶矩阵.
三、数乘矩阵
kaka...ka
11121n

kaka...ka
数k与矩阵A相乘,kA=21222n
............

kaka...ka
m1m2mn×4矩阵A与B:
32752014
A=B=求3A-2B
10435176

68024219

333(2)3735962115
解:3A==
3130343(3)30129

36383032182406
2(2)2021244023
2B==
252(1)27261021412

242(2)212(9)84218

9621154023
3A-2B=-
301291021412

18240684218

9(4)60212153
=
3100(2)1214912

18824(4)026(18)
1361912
=
72221

1028224

227:.
12310123
,使满足矩阵方程:+X=
20123011

11011220

01231231
解:由矩阵减法得X=
30112012

12201101
1314
=
1003

2121

四、矩阵乘法
两矩阵相乘A·B是指矩阵A的某一行的元素与矩阵B的对应列的
元素分别相乘再相加的结果。其中A为mn,B为ns
aa...abb...b
11121n11121s

aa...abb...b
即A=21222nB=21222s
........................

aa...abb...b
m1m2mnn1n2ns
cc...c
11121s

cc...c
C=A·B=21222s
............

cc...c
m1m2ms
其中:c=(a×b+a×b+„+a×b)
**********nn1
c=(a×b+a×b+„+a×b)
**********nn2
„„„„„„„„„
c=(a×b+a×b+„+a×b)
m1m1n1m2n2mnns
n
即:c=a×b+a×b+„+a×b=
iji11ji22jinnjab
ikkj
k1
其中:i=1,2,„,mj=1,2,„,s
228:.21
123
=与矩阵B=10,求乘积矩阵AB=?
2×33×2
201
02
21
1231(2)213011203(2)
解:AB=·10=

2012(2)011021001(2)
02

05
=

40
,求乘积矩阵BA=?
21211222102311
123
解:BA=10·=110212001301

201
0201(2)202(2)003(2)1
045
=
123

402

由以上两题可见矩阵乘法不适合交换律,两个相乘的矩阵交换后其
积是不相同的。但有些特殊情况AB=BA,这时称矩阵A和B是可交换
矩阵。
其次,矩阵相乘不适合消去律,即AC=BC,但不能约去C而得到
A=B的结论。这里一般情况下A≠B
再者,两个非0的矩阵的乘积有可能是0
即A≠0,B≠0,则有时AB=0
229:.
矩阵乘法与数的乘法相同之处:
:(AB)C=A(BC)
:A(B+C)=AB+AC
(B+C)A=BA+CA
五、转置矩阵
将矩阵的行与列互换,且不改变它们的排列顺序,便得到一个新
矩阵,这个新矩阵就是原来矩阵的转置矩阵。用T来表示。
A
aa...aaa...a
11121n1121m1

aa...aaa...a
即:A=21222n,则T=1222m2称为A的转置矩阵
A
........................

aa...aaa...a
m1m2mn1n2nmn
14
102
如:A=它的转置矩阵AT=03

430
20
转置矩阵有如下性质:
1.(AB)TBTAT(ABC)TCTBTAT(注意顺序)
2.(AB)TATBT
(其中k是数)
(kA)kA
六、逆矩阵
矩阵A的逆矩阵用A-1来表示,它满足以下关系:
1

1
A·A-1=EE称为单位矩阵,即
...

1
用这个定义求一个矩阵的逆矩阵不太方便,一般用“伴随矩阵法”
230:.
来求逆矩阵:
首先求出矩阵A的行列式|A|的数值,(注意|A|代表矩阵A的行列
式,而不是A的绝对值)求出该行列式的数值,如果|A|≠0,则矩阵A
可逆,称A是非退化矩阵;如果|A|=0,则矩阵A不可逆,称A是退化
矩阵,也叫奇异矩阵。
为了求出A的逆矩阵,再引入一个重要概念‘伴随矩阵’:
即,把矩阵A的行列行|A|的代数余子式的数值替换矩阵A的各元
素后,再转置,即为A的伴随矩阵。记作A*
123
如:求三价矩阵A=的伴随矩阵A*
221

343
123
先将A变成行列式|A|=221=2,它的代数余子式为:
343
212122
A=(-1)1+1·=2,A=(-1)1+2·=-3,A=(-1)1+3·=2
111213
433334
231312
A=(-1)2+1·=6,A=(-1)2+2·=-6,A=(-1)2+3·=2
212223
433334
231312
A=(-1)3+1·=-4,A=(-1)3+2·=5,A=(-1)3+3·=-2
313233
212122
把以上各行的数值排成‘列’,而形成的矩阵就是A的伴随矩阵A*
264
即:A*=
365

222

1
定理:如果|A|≠0,那么A可逆,并且A-1=·A*
|A|
231:.
132
*264
A
∴A的逆矩阵A-1==1=35
3653
|A|
222
222

111

1
验算一下是否满足A·A-1=E=
1

1

132
123133363253100

A·A-1=·35==
2213231661451010

22
34336391236103001
111

与定义完全符合。
注意:只有方阵,才有可逆矩阵的概念。因为,只有方阵才能求
其行列式|A|,∵n价行列式的行和列都是n。矩阵的行和列为m和n
只有|A|≠0,矩阵才可逆,才存在逆矩阵A-1
伴随矩阵法求低价逆矩阵还是较方便的如n≦
阵的逆矩阵,计算量就很大。以后还要介绍利用矩阵初等变换方法求
逆矩阵。
可逆矩阵A、B和它们的逆矩阵的性质:
1.(A-1)-1=A逆矩阵的逆矩阵等于原矩阵。
2.(AB)-1=B-1A-1两个可逆矩阵的乘积的逆矩阵,等于两个矩阵的
逆矩阵的乘积。但原左乘变为右乘。(与原顺序颠倒)
(ABC)-1=C-1B-1A-1
3.(T)-1=1T转置矩阵的逆矩阵等于逆矩阵转置。
A(A)
七、几种常用的特殊矩阵
232:.

矩阵内由左上角到右下角(即主对角线)的元素不全为0,其它各
元素全部为0的矩阵,叫对角矩阵。
a
11

a
即,形如22的矩阵,称为对角矩阵记作diag
A
...

a
nn
对角矩阵有如下性质:
1)对角矩阵的和与差仍然是对角矩阵。
2)数乘对角矩阵的积仍是对角矩阵。
3)同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵,而且满足乘法交换律。
4)对角矩阵A与它的转置矩阵T相等,即T
AAA

a

a
形如(其中a是常数),称为数量矩阵。
A
...

a
8
2

8
如:2和分别是3阶和4阶数量矩阵。
8
2

8

1

1
形如的对角矩阵称为单位矩阵,记作E
...

1

233:.
对角线和对角线以上(以下)的元素不全为0,其余元素全部为0
的矩阵,称为三角矩阵。前者为上三角矩阵,后者为下三角矩阵。
1000
201

5300
如:和前者为上三角矩阵,后面的是下三
040
4110
002

3205
角矩阵。

一个矩阵与它的转置矩阵相等,这个矩阵就是对称矩阵。
即:如果矩阵A=满足T,则A是对称矩阵。
(a)AA
ij
123
如:A=其除去主对角线上的元素外,其余元素均满足
247aa
ijji
375

()即,aa=2,aa=-3,aa=7
ij
122113312332
对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵都是对称矩阵

如果矩阵A=(a)满足T,则称A是反对称矩阵。
AA
ij
反对称矩阵主对角线上的元素一定为0,而其他元素则有aa
ijji
(i≠j)
023023
如:
A207A207

370370

023
T∴
A207ATA

370

234:.
对称矩阵具备对角矩阵的性质1和性质2,但不具备性质3,对角
矩阵的性质4就是对称矩阵和反对称矩阵的定义。
对称矩阵性质:
1)对于任一矩阵A,都有T是对称矩阵。
AA
即矩阵A和它的转置矩阵T的乘积T是对称矩阵。
AAA
∵TTTTTT(见转置矩阵性质1)
(AA)(A)AAA
2)如果AB是对称矩阵,那么它满足AB=BA

如果矩阵A满足TT,则A是正交矩阵。
AAAAE
正交矩阵的性质:
1)如果矩阵A和矩阵B都是正交矩阵,则它们的乘积AB也是正交
矩阵。
八、矩阵的分块
在矩阵的运算中,为了计算方便也为了显示出矩阵的某些部分特
性,我们常用一些横线和竖线把矩阵分成许多小块,每个小块本身也
成为一个小矩阵,这些小矩阵称为矩阵的子块(或子矩阵)。这种以子
块为元素的矩阵称为分块矩阵。
235:.
1002510025

0103201032

如:A==
0011600116

0004000040


0000400004

这样分块以后,由原来的5×5矩阵变为2×2分块矩阵。
第一行第一列的子块是一个三阶单位矩阵,用E来表示。
3
第二列的子块是一个3×2矩阵,用A来表示。
3×2
第二行第一列的子块是一个2×3的0矩阵,用O来表示。
第二列的子块是一个2阶对角矩阵,用4E来表示。
2
EA
则:A=332

o4E
2
通过对矩阵的分块,可使矩阵结构更加明显。矩阵分块的目的是
使矩阵运算变成通过子块的运算来完成。
矩阵分块是随意的,目的是使矩阵变成简单的某种特殊形式,从
而更方便运算。例如,通过合理分块可以把一个矩阵变为‘对角分块
矩阵’等等。特别对求高阶矩阵的逆矩阵更为方便。
2100

1200A2134
如:A==1其中A=,A=
12
0034A1251
2

0051
求:A的逆矩阵A-1,可以简化成对A和A求逆矩阵。
12
先求A的代数余子式:
1
*21
A=2,A=-1,A=-1,A=2;A的伴随矩阵A=
1112212211
12
236:.
A的代数余子式:
2
*14
(A)=1,(A)=-5,(A)=-4,(A)=3;A=
21**********
53
1
逆矩阵公式A-1=·A*其中|A|≠0
|A|
2134
则:先求出|A|,|A|==3,|A|==-17
12
1251
2114

A*A*
A-1==33A-1==1717
12
12
A12A53
12
331717
21

00
33

1200

-133
∴A=

14

001717

0053

1717解矩阵方程:
2546


1321
2546
解:设矩阵为A,为B,原式变为AX=B

1321
25
A的行列式|A|=∴该矩阵可逆,求A-1=?
1
13
A*
3535
A=3,A=-1,A=-5,A=2,∴A*=∴A-1==
11122122|A|
1212
237:.
对原方程两边左乘A-1得:A-1AX=A-1B
3546
X=A-1B=

1221
34(5)23(6)(5)1223
X==

(1)422(1)(6)2108
2522346223
代入原方程验算:==B∴X=满足原方程

13082108
1112
2.
211X3


1116
111111
解:矩阵为A,它的行列式的值:=6
211211


111111
∴该矩阵可逆。求A-1=?
A=0,A=3,A=-3,A=-2,A=2,A=0,A=2,A=1,A=3
1112132**********
11
0

33
022022
1111
得伴随矩阵A*=∴A-1==
321321
236
6

303303
11
0

22
11
0

33
202121
111
X=3=111=3代入原方程等式成立。

236

61032
11
0

22
238:.
-1:
210021

020002
我们把它分成对角分块矩阵
A
003131

000303
21244


220204
AA
211==
A

AA2296
231
2

09
03
4400

0400
=
0096

0009
求A-1
11
1
A121121
其中:=24
A11A1

A11024021

20
2
11
1
31131
==39
A1

2039031

0
3
11
00

24

1
1
000
21
∴A1验证:AA1E

111
00

391


1
000
3
239:.
二、矩阵的初等变换
1、矩阵初等行变换
定义:矩阵的初等行变换是指:
;
;
。
2、矩阵初等列变换
把定义1的“行”换成“列”,就称为‘矩阵初等列变换’。把它
们统称为“矩阵初等变换”。
矩阵的初等变换的目的是和解多元线性方程组的消元法一样,逐
行消去未知项而形成“阶梯方程”,从而解出未知数的一种变换方法。
显然,我们用矩阵的初等变换能把矩阵变换成阶梯矩阵,对解线
性方程组最间便。我们定义如下新概念:
定义:阶梯矩阵满足下列条件

(即非零行的第一个非零元素)的列标,随着
行标递增而严格增大。
20135

05412
如:A=即为阶梯矩阵。如果再满足以下两条件:
73

00000

240:.
,
则为行简化阶梯矩阵。
130204

001102
如:即为简化阶梯矩阵。
000010

000000
对任一矩阵,反复进行初等行变换,都可以把矩阵化间成‘阶梯
形矩阵’和‘行简化阶梯形矩阵’。
注意:在把阶梯形矩阵化成‘行简化阶梯形矩阵’时,首先要把
最后一个非零行的首非零元所在列的其余元素变成零;再把倒数第二
个非零行的首非零元所在列的其他元素变成零,依次往上进行,最后
把所有首非零元变成1.
1123
如:将A=化成行简化阶梯矩阵
1235


0112
112311231123
解:②+①·(-1)③+②·(-1)
123501120112


011201120000
此为阶梯矩阵
1011
继续简化①+②·(-1)即为行简化阶梯矩阵。
0112


0000
3、用矩阵的初等行变换法求可逆矩阵的逆矩阵
在这之前,我们介绍了用“伴随矩阵”法求可逆矩阵的逆矩阵的
方法。(见P230-P232)这种求逆矩阵方法对3阶以下的矩阵还可以,
但对高于3阶的矩阵,这种方法计算量较大,容易出错,不太方便。
241:.
现在我们用矩阵的行初等变换方法求逆矩阵:
一个矩阵A如可逆,那么它的行列式|A|≠0
定理:可逆矩阵A,经过初等行变换,化成的行简化阶梯矩阵必定
是单位矩阵E.(证明:略)
根据这个定理,我们还可以得出的结论是:如果用一系列行初等
变换把可逆矩阵A化成单位矩阵E,那么用同样的初等行变换作用于E
就能得出A的逆矩阵A-1.(这涉及到“初等矩阵”概念,这里不作介绍)
现在,我们只运用这个定理和这个结论,用行初等变换法来求可
逆矩阵的逆矩阵。
具体方法是:在可逆矩阵A的右边加上与其同阶的单位矩阵E,然后对
矩阵(A,E)作初等行变换,目的是要把左半边的A化成E,与此同时,
按上述结论右半边的E就化成为A的逆矩阵A-(A,E)(E,A-1)
123
如:用初等行变换法求矩阵A=的逆矩阵。
221


343
123100123100
解:(A,E)=②+①·(-2)
221010025210


343001343001
123100123100
③+①·(-3)③+②·(-1)
025210025210


026301001111
123100120233
②+③·(-5)①+③·3
020365020365


001111001111
242:.
100132
100132

①+②,③·(-1)②·(-1)35
0203650103

222

001111
001111

132132
1231

∴A-1=35验证:AA-1=35==E
322131

2222

3431
111111

用这种方法求得的逆矩阵A-1,与用伴随矩阵法求得的逆矩阵是一样的。
这种方法避免了求A的行列式|A|的代数余子式的计算、重新转置排列
等过程。
三、矩阵的秩
矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念,它与向量组的秩有
密切联系。我们可以用矩阵的秩来判定线性方程组是否有解,以及有
什么样的解等问题。
1、矩阵秩的概念
定义1:在mn矩阵A=(a)内,取出任意k行k列元素,并且保
ij
留这些元素原来的相对位置不变,所构成的k阶行列式,叫做A的
k阶子行列式,简称k阶子式。(