平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解第讲间接效用函数与支出函数.doc

平新乔《微观经济学十八讲》第2讲间接效用函数与支出函数
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。求该消费者的间接效用函数。并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。并验证:这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解:(1)①当时,消费者的效用最大化问题为:
构造拉格朗日函数:
对、和分别求偏导得:
①
②
③
从①式和②式中消去后得:
④
再把④式代入③式中得:
⑤
从而解得马歇尔需求函数为:

由⑤式可知:当时,,消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数:
②当时,消费者只消费商品1,为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为:

将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数:
(2)①当时,此时的间接效用函数为:
将间接效用函数分别对、和求偏导得:

由罗尔恒等式,得到:

②当时,间接效用函数为,将间接效用函数分别对、和求偏导得:

由罗尔恒等式,得到:

(3)比较可知,通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
,商品1和2的价格分别是和,此消费者的收入为,求马歇尔需求函数和支出函数。
解:(1)消费者的效用最大化问题为:
构造该问题的拉格朗日函数:
拉格朗日函数对、和分别求偏导得:
①
②
③
从①式和②式中消去后得:
④
把④式代入③式中得:
⑤
把⑤式代入④式中得:
⑥
⑤式和⑥式就是商品1和2的马歇尔需求函数。
将马歇尔需求函数代入直接效用函数中,可得间接效用函数:
由于支出函数与间接效用函数互为反函数,得支出函数为:
,这里表示收入。
解:由间接效用函数可得:,,。
根据罗尔恒等式可知商品1和商品2的马歇尔需求函数分别为(其中或2):
,他有一份固定收入,想在北京、上海与广州三城市中选择居住地。假定他的选择决策只依赖于其效用函数,这里。已知北京的物价为
,上海的物价为,并且,但,。又知广州的物价为。若该退休老人是理智的,他会选择哪个城市去生活?
解:老人的效用最大化问题为:
构造该问题的拉格朗日函数:
拉格朗日函数对、和分别求偏导得:
①
②
③
由①②③三式求解,可得:,。
将上述两式代入目标式中就得到了老人的间接效用函数:
于是他在北京、上海、广州三地的效用分别为:

因为,所以。
又因为,由于已知,所以该不等式的等号并不成立,则有。
综合上述分析可知:若该退休老人是理性的,则他会选择在北京或上海生活,但不会选择去广州生活。
5.(1)设,这里,求与该效用函数相对应的支出函数。
(2)又设,这里,,求与该效用函数相对应的支出函数。
(3)证明:,其中。
答:(1)消费者的支出最小化问题为:
构造该问题的拉格朗日函数:
拉格朗日函数对、和分别求偏导得:
①
②
③
由上述三式解得:,。
把两式代入目标函数式中,就得到了消费者的支出函数:
(2)消费者的支出最小化问题为:
构造该问题的拉格朗日函数:
拉格朗日函数对、和分别求偏导得:
①
②
③
由①②③三式可解得:,。
把上述两式代入目标函数式中,就得到了消费者的支出函数:
(3)证明:
根据(1)与(2)的结果,可得。
,这里。什么是该消费者对物品1的希克斯需求函数?
答:根据间接效用函数与支出函数是反函数的关系,由于消费者的间接效用函数为,从中反解出关于、和的表达式,并用替换,就得到了消费者的支出函数:
根据谢泼特引理,可知物品1的希克斯需求函数为:
-Douglass效用函数,这里,。
(1)求每种商品的马歇尔需求函数。
(2)求消费者的间接效用函数。
(3)计算消费者的支出函数。
(4)计算每种商品的希克斯需求函数。
解:(1)消费者的效用最大化问题为:
构造该问题的拉格朗日函数:
拉格朗日函数对和分别求偏导数得:
①
从前个等式可知,对任意的和,都有如下关系成立:
从而得到,对任意的都