二次函数根分布.doc

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二次函数根散布
二次函数根散布
二次方程根的散布与二次函数在闭区间上的最值概括
1、一元二次方程
ax2
bxc0根的散布状况
设方程ax2
bxc0a
0的不等两根为
x1,x2且x1
x2,相应的二次函数为fxax2
bxc0,
方程的根即为二次函数图象与
x轴的交点,它们的散布状况见下边各表(每种状况对应的均是充要条件)
分
布
情
况
大
致
图
象
(
a0
)
得
出
的
结
论
大
致
图
象
(
a0
)
得
出
的
结
论
综
合
结
论
(
不
讨
论
a

二次函数根散布
二次函数根散布
二次函数根散布
表一:(两根与0的大小比较即根的正负状况)
两个负根即两根都小于0
两个正根即两根都大于0
一正根一负根即一个根小于
0,
x10,x20
x10,x20
一个大于0x10x2
0
0
b
b
f00
0
0
2a
2a
f00
f00
0
0
b
b
f00
0
0
2a
2a
f00
f00
0
0
b
b
af00
0
0
2a
2a
af00
af0
0
二次函数根散布
二次函数根散布
二次函数根散布
)
二次函数根散布
二次函数根散布
二次函数根散布
表二:(两根与k的大小比较)
二次函数根散布
二次函数根散布
二次函数根散布
分
布
情
况
大
致
图
象
(
a0
)
得
出
的
结
论
大
致
图
象
(
a0
)
得
出
的
结
论
综
合
结
论
(
不
讨
论
a
)

两根都小于
k即
两根都大于
k即
x1k,x2
k
x1k,x2
k
k
k
0
0
b
k
b
k
2a
2a
fk
0
fk
0
00
bb
kk
2a2a
fk0fk0
二次函数根散布
二次函数根散布
二次函数根散布
0
0
b
b
k
k
2a
2a
afk0
afk
0

k,一个大于
k
一个根小于
即
x1
kx2
k
fk0
fk0
afk0
二次函数根散布
二次函数根散布
二次函数根散布
表三:(根在区间上的散布)
二次函数根散布
二次函数根散布
二次函数根散布
分
布
情
况
大
致
图
象
(
a0
)
得
出
的
结
论
大
致
图
象
(

两根都在
两根有且仅有一根在
m,n内
一根在m,n内,另一根在p,q
m,n内
内,mnpq
(图象有两种状况,只画了一种)
0
f
m
0
fm
0
fn
0
fmfn
0
或
fn
0
fmfn0
fp
0
fpfq
0
m
b
n
f
q
0
2a
二次函数根散布
二次函数根散布
二次函数根散布
a0
)
0
f
m
0
得
f
m
0
f
n
0
f
m
f
n
0
出
f
n
0
的
fmfn0
或
结
b
f
p
0
f
p
f
q
0
论
n
m
2a
f
q
0
综
合
二次函数根散布
二次函数根散布
二次函数根散布
结
f
mf
n
0
论
(
——————
fmfn0
不
f
pf
q
0
讨
论
a
)
根在区间上的散布还有一种状况:两根分别在区间m,n外,即在区间双侧x1m,x2n,(图形分别以下)需知足
二次函数根散布
二次函数根散布
二次函数根散布
的条件是
二次函数根散布
二次函数根散布
二次函数根散布
f
m
0
(2)a
f
m
0
(1)a0时,
;
0时,
f
n
0
f
n
0
对以上的根的散布表中一些特别状况作说明:
(1)两根有且仅有一根在
m,n内有以下特别状况:
二次函数根散布
二次函数根散布
二次函数根散布
1若fm
0或fn
0,则此时fm
fn0不建立,但对于这类状况是知道了方程有一根为
m或n
求出其他一根,此后能够依据另一根在区间
m,n内,进而能够求出参数的值。如方程
mx2
m2x20

,能够
在区间
二次函数根散布
二次函数根散布
二次函数根散布
1,3上有一根,
因为f1
0,所以mx2
m
2x2
x
1
mx2
2
2
3得
2m2
,另一根为
,由1
即
m
m
3
为所求;
2
方程有且只有一根,且这个根在区间
m,n内,即
0
,此时由
0能够求出参数的值,此后再将参数的值带
入方程,求出相应的根,查验根能否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程
x2
4mx
2m60有且
3,0内,求m的取值范围。分析:①由
f
3
f0
0即
14m
15m
3
0得出
3
15
一根在区间
m
;
3
14
②由
即
2
60
m
1m
m
1
x
2
3,0
m
1
16m
42m
0
得出
或
2
,当
时,根
,即
知足题意;当
3
3
15
m
3,0,故m
3
m
或m
1
时,根x3
不知足题意;综上分析,得出
2
2
14
根的散布练****题
例1
、已知二次方程
2m
1x2
2mx
m1
0
有一正根和一负根,务实数
m的取值范围。
2m
1f
0
0
2m
1m
1
0
m1
即为所求的范围。
解:由
即
,进而得
1
2x2
2
例2
、已知方程
m
1x
m0有两个不等正实根,务实数
m的取值范围。
解:由
二次函数根散布
二次函数根散布
二次函数根散布
0
2
二次函数根散布
二次函数根散布
二次函数根散布
m1
0
22
f00

m18m0
1m0

m322或m322
m0
二次函数根散布
二次函数根散布
二次函数根散布
0m
322或m
3
2
2即为所求的范围。
例3、已知二次函数
y
m
2x2
2m
4x
3m
3与x轴有两个交点,一个大于
1,一个小于
1,务实数m的
取值范围。
解:由
m2f1
0
即
m2
2m1
0
2
m
1
即为所求的范围。
例4、已知二次方程
mx2
2m3x
4
0
2
1
只有一个正根且这个根小于
,务实数m的取值范围。
1
解:由题意有方程在区间
0,1上只有一个正根,则
f
0f1
0
43m10
m
即为所求范围。
3
二次函数根散布
二次函数根散布
二次函数根散布
(注:对于可能出现的特别状况方程有且只有一根且这个根在0,1内,由0计算查验,均不复合题意,计算量稍大)
二次函数根散布
二次函数根散布
二次函数根散布

设有一元二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0),鉴别式=b2-4ac,当
>0时y=f(x)
与x轴有二
交点;当=0时,y=f(x)
与x轴仅有一交点;当
<0时,y=f(x)与x轴无交点.
当
>0时,设y=f(x)图象与的
x轴两交点为
x1<
y=f(x)与x轴交点
x1,x2就是相应一元二次方程
f(x)=0
.
图像为
察看图象不难知道△=0,a>0,△=0,a<0
当△<0时,y=f(x)图象与x轴无公共点,其图象为
二次函数根散布
二次函数根散布
二次函数根散布
察看图象不难知道.
a>0时,绝对不等式
f(x)>0解为
x∈R.
a<0时,
绝对不等式
f(x)<0解为x∈R.
,常常概括为不等式(组)的求解问题,其方法有
3种:
1)应用求根公式;(2)应用根与系数关系;
3),应保证这类转变的等价性.
就这三种方法而言,应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法.
设f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程ax2+bx+x=0的个根为α,β(α≤β),m,n为常数,且n<m,方程根
的散布无外乎两种状况:
二次函数根散布
二次函数根散布
二次函数根散布