考研数学学习心得与总结汇总.doc

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考研数学冲刺线性代数常考的内容
▶一、行列式局部,强化概念性质,娴熟行列式的求法
在这里我们需要明确下面几条:行列式对应的是一个数值,是一个实数,明确这一点可以帮忙我们检查一些疏漏的低级错误;行列式的计算方法中常用的是定义法,比拟重要的是加边法,数学归纳法,降阶法,利用行列式的性质对行列式进展恒等变形,化简之后再按行或列绽开。另外范德蒙行列式也是需要把握的;行列式的考察方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等。
▶二、矩阵局部,重视矩阵运算,把握矩阵秩的应用
通过历年真题分类统计与考点分布,矩阵局部的重点考点集中在逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程,其内容包括伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩,,伴随矩阵的矩阵方程以及矩阵与行列式的结合也是需要同学们娴熟把握的细节。涉及秩的应用,包含矩阵的秩与向量组的秩之间的关系,矩阵等价与向量组等价,对矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析,备考需要在理解概念的根底上,系统地进展归纳总结,并做****题加以稳固。
▶三、向量局部,理解相关无关概念,敏捷进展判定
向量组的线性相关问题是向量局部的重中之重,也是考研线性代数每年必出的考点。如何把握这局部内容呢?首先在于对定义概念的理解,然后就是分析判定的重点,即:看是否存在一组全为零的或者有非零解的实数对。根底线性相关问题也会涉及类似的题型:判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。
▶四、线性方程组局部,推断解的个数,明确通解的求解思路
线性方程组解的状况,主要涵盖了齐次线性方程组有非零解、非齐次线性方程组解的判定及解的构造、齐次线性方程组根底解系的求解与证明以及带参数的线性方程组的解的状况。通解的求法有两种,若为齐次线性方程组,首先求解方程组的矩阵对应的行列式的值,在特征值为零和不为零的状况下分别进展争论,为零说明有解,带入增广矩阵化简整理;不为零则有唯一解直接求出即可。若为非齐次方程组,则根据对增广矩阵的争论进展求解。
▶五、矩阵的特征值与特征向量局部,理解概念方法,把握矩阵对角化的求解
矩阵的特征值、特征向量局部可划分为三给我板块:特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相像对角化、实对称矩阵的正交相像对角化。相关题型有:数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相像对角化、有关实对称矩阵的问题。
▶六、二次型局部,熟识正定矩阵的判别,了解标准性和惯性定理
二次型矩阵是二次型问题的一个根底,且大局部都可以转化为它的实对称矩阵的问题来处理。另外二次型及其矩阵表示,二次型的秩和标准形等概念、二次型的标准形和惯性定理也是填空选择题中的不行或缺的局部,二次型的标准化与矩阵对角化严密相连,要会用配方法、正交变换化二次型为标准形;把握二次型正定性的判别方法等等。
考研数学学****心得2
高数定理证明之微分中值定理:
这一局部内容比拟丰富,包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外,其它定理要求会证。
费马引理的条件有两个:(_0)(_0)为f(_)的极值,结论为f(_0)=0。考虑函数在一点的导数,用什么方法?自然想到导数定义。我们可以根据导数定义写出f(_0)的极限形式。往下如何推理?关键要看其次个条件怎么用。“f(_0)为f(_)的极值”翻译成数学语言即f(_)-f(_0)0(或0),对_0的某去心邻域成立。结合导数定义式中函数局部表达式,不难想到考虑函数局部的正负号。若能得出函数局部的符号,如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁。
费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要争论的罗尔定理。若在微分中值定理这局部推举一个考频最高的,那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想必各位都比拟熟识。条件有三:“闭区间连续”、“开区间可导”和“端值相等”,结论是在开区间存在一点(即所谓的中值),使得函数在该点的导数为0。
该定理的证明不好理解,需仔细体会:条件怎么用?如何和结论建立联系?固然,我们现在争论该定理的证明是“马后炮”式的:已经有了证明过程,我们看看怎么去理解把握。假如在罗尔生活的时代,证出该定理,那可是十足的创新,是要流芳百世的。
闲言少叙,言归正传。既然我们争论费马引理的作用是要引出罗尔定理,那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。我们比照这两个定理的结论,不难发觉是全都的:都是函数在一点的导数为0。话说到这,可能有同学要说:罗尔定理的证明并不难呀,由费马引理得结论不就行了。大方向对,但过程没这么简洁。起码要说清一点:费马引理的条件是否满意,为什么满意?
前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和“取极值”,“可导”不难推断是成立的,那么“取极值”呢?好像不能由条件直接得到。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。留意到罗尔定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连续函数有很好的性质,哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理。
那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清晰,由于直接影响下面推理的走向。结论是:若最值取在区间内部,则最值为极值;若最值均取在区间端点,则最值不为极值。那么接下来,分两种状况争论即可:若最值取在区间内部,此种状况下费马引理条件完全成立,不难得出结论;若最值均取在区间端点,留意到已知条件第三条告知我们端点函数值相等,由此推出函数在整个闭区间上的最大值和最小值相等,这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数,那在开区间上任取一点都能使结论成立。
拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。把握这两个定理的证明有一箭双雕的效果:真题中直接考过拉格朗日定理的证明,若再考这些原定理,那自然驾轻就熟;此外,这两个的定理的证明过程中表达出来的根本思路,适用于证其它结论。
以拉格朗日定理的证明为例,既然用罗尔定理证,那我们比照一下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形,变成罗尔定理结论的形式,移项即可。接下来,要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗尔定理的结果。这就是构造帮助函数的过程——看等号左侧的式子是哪个函数求导后,把_换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现场调查:依据这个犯罪现场,反推嫌疑人是谁。固然,构造帮助函数远比破案要简洁,简洁的题目直接观看;简单一些的,可以把中值换成_,再对得到的函数求不定积分。
高数定理证明之求导公式:
2023年真题考了一个证明题:证明两个函数乘积的导数公式。几乎每位同学都对这个公式怎么用比拟熟识,而对它怎么来的较为生疏。实际上,从授课的角度,这种在2023年前从未考过的根本公式的证明,一般只会在根底阶段讲到。假如这个阶段的考生带焦急功近利的心态只关注结论怎么用,而不关怀结论怎么来的,那很可能从未仔细思索过该公式的证明过程,进而在考场上变得很被动。这里给2023考研学子提个醒:要重视根底阶段的复****那些真题中未考过的重要结论的证明,有可能考到,不要放过。
固然,该公式的证明并不难。先考虑f(_)_(_)在点_0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察,可以根据导数定义写出一个极限式子。该极限为“0分之0”型,但不能用洛必达法则,由于分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的,不能用!)。利用数学上常用的拼凑之法,加一项,减一项。这个“无中生有”的项要和前后都有联系,便于提公因子。之后分子的四项两两配对,除以分母后考虑极限,不难得出结果。再由_0的任意性,便得到了f(_)_(_)在任意点的导数公式。
高数定理证明之积分中值定理:
该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续,结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面,并把积分变量_换成中值。如何证明?可能有同学想到用微分中值定理,理由是微分相关定理的结论中含有中值。可以根据此思路往下分析,不过更易理解的思路是考虑连续相关定理(介值定理和零点存在定理),理由更充分些:上述两个连续相关定理的结论中不但含有中值而且不含导数,而待证的积分中值定理的结论也是含有中值但不含导数。
若我们选择了用连续相关定理去证,那么究竟选择哪个定理呢?这里有个小的技巧——看中值是位于闭区间还是开区间。介值定理和零点存在定理的结论中的中值分别位于闭区间和开区间,而待证的积分中值定理的结论中的中值位于闭区间。那么何去何从,已经不言自明白。
若顺当选中了介值定理,那么往下如何推理呢?我们可以比照一下介值定理和积分中值定理的结论:介值定理的结论的等式一边为某点处的函数值,而等号另一边为常数A。我们自然想到把积分中值定理的结论朝以上的形式变形。等式两边同时除以区间长度,就能到达我们的要求。固然,变形后等号一侧含有积分的式子的长相还是挺有迷惑性的,要透过现象看本质,看清晰定积分的值是一个数,进而定积分除以区间长度后仍为一个数。这个数就相当于介值定理结论中的A。
接下来如何推理,这就考察各位对介值定理的熟识程度了。该定理条件有二:,,结论是该实数能被取到(即A为闭区间上某点的函数值)。再看若积分中值定理的条件成立否能推出介值定理的条件成立。函数的连续性不难推断,仅需说明定积分除以区间长度这个实数位于函数的最大值和最小值之间即可。而要考察一个定积分的值的范围,不难想到比拟定理(或估值定理)。
高数定理证明之微积分根本定理:
该局部包括两个定理:变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。
变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续,结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉,并用积分上限替换被积函数的自变量。留意该求导公式对闭区间成立,而闭区间上的导数要区分对待:对应开区间上每一点的导数是一类,而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵,各表一枝。我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点_处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于导数定义这个极限式如何化简,笔者就不能剥夺读者思索的权利了。单侧导数类似考虑。
“牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁,它是微积分中最根本的公式之一。它证明白微分与积分是可逆运算,同时在理论上标志着微积分完整体系的形成,从今微积分成为一门真正的学科。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。而多数考生能娴熟运用该公式计算定积分。不过,提起该公式的证明,熟识的考生并不多。
该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(_)在闭区间连续,该公式的另一个条件是F(_)为f(_)在闭区间上的一个原函数,结论是f(_)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件成立,则不难推断变限积分求导定理的条件成立,故变限积分求导定理的结论成立。
留意到该公式的另一个条件提到了原函数,那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下,即f(_)对应的变上限积分函数为f(_)在闭区间上的另一个原函数。依据原函数的概念,我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数,所以F(_)等于f(_)的变上限积分函数加某个常数C。万事俱备,只差写一下。将该公式右侧的表达式结合推出的等式变形,不难得出结论。
考研数学学****心得3
考研高数考点猜测:极限的计算
1、等价无穷小的转化,(只能在乘除时候使用,但是不是说肯定在加减时候不能用,前提是必需证明拆分后极限依旧存在,e的_次方-1或者(1+_)的a次方-1等价于A_等等。全部熟记(_趋近无穷的时候复原成无穷小)。
2、洛必达法则(大题目有时候会有示意要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必需是_趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求_趋近状况下的极限,固然n趋近是_趋近的一种状况而已,是必要条件(还有一点数列极限的n固然是趋近于正无穷的,不行能是负无穷!)必需是函数的导数要存在!(假设告知你g(_),没告知你是否可导,直接用,无疑于找死!!)必需是0比0无穷大比无穷大!固然还要留意分母不能为0。洛必达法则分为3种状况:0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷,无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方,1的无穷次方,无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法,这样就能把幂上的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了,(这就是为什么只有3种形式的缘由,LN_两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0,当他的幂移下来趋近于无穷的时候,LN_趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的_次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变留意!)E的_绽开sina,绽开cosa,绽开ln1+_,对题目简化有很好帮忙。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决方法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去简单,处理很简洁!
5、无穷小于有界函数的处理方法,面对简单函数时候,尤其是正余弦的简单函数与其他函数相乘的时候,肯定要留意这个方法。面对特别简单的函数,可能只需要知道它的范围结果就出来了!
6、夹逼定理(主要应付的是数列极限!)这个主要是观察极限中的函数是方程相除的形式,放缩和扩大。
7、等比等差数列公式应用(应付数列极限)(q肯定值符号要小于1)。
8、各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(应付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数。
9、求左右极限的方式(应付数列极限)例如知道_n与_n+1的关系,已知_n的极限存在的状况下,_n的极限与_n+1的极限时一样的,由于极限去掉有限工程极限值不变化。