高等数学第三章习题课答案.docx

第三章微分中值定理****题课
一、判断题(每题3分)
函数在点处可导,且在点处取得极值,那么.( √)
函数在点处可导,且,那么在点处取得极值.( × )
若是的极值点,则是的驻点. ( × )
函数在区间内的极大值一定大于极小值. ( × )
若,则在内单调增加. ( √)
且是函数在处取得极大值的充要条件. ( × )
函数的图形没有拐点. ( √)
因为函数在点不可导,所以点不是曲线的拐点.( × )
二、选择题(每题3分)
,在闭区间[-1,1]上满足罗尔定理条件的是( D ).
A. B.
C. D.
,满足罗尔定理全部条件的区间是( D ).
(A); (B); (C); (D)
3. 设函数,则方程在内根的个数( D )
(A) 0个; (B)至多1个; (C) 2个; (D)至少3个.
,使得该定理成立的( D ).
(A) (B) (C) (D)
,则该两函数在上( C ).
B .相等
6. 在定义域内( B ).
A. 单调减函数
C. 有单调增区间也有单调减区间 D. 没有单调性
7. 函数的单调减少区间是( C ).
(A) (B) (C) (D)
,则曲线在内的曲线弧位于其上任一条切线的( A ).
(A)上方; (B)下方; (C)左方; (D)右方.
,则( A ).
(A) (B)
(C) (D)
10. 设函数在开区间内有且,则在内( C )
,图像是凹的 ,图像是凹的
,图像是凸的 D. 单调增加,图像是凸的
,则和应满足( C ).
(A)且; (B)且是任意实数;
(C)且; (D)且是任意实数.
12. 函数在其定义域内( B )
(A)单调减少(B) 单调增加
(C) 图形是凹的(D) 图形是凸的
,则( A ).
(A)必为曲线的拐点; (B)必为曲线的驻点;
(C)点必为曲线的极值点; (D)必为曲线的拐点.
( B ).
(A) (B) (C) (D)
( D ).


<0,则下述正确的是( A )
( A ) <<; ( B ) <<;
( C ) <<; ( D ) <<
,且则是的
( A )
(A)极大值; (B)极小值; (C)驻点; (D)拐点.
=0,在处导数不存在,则( C ).
A. ,一定都是极值点
C. , 都可能不是极值点 D. ,至少有一个是极值点
解答题(求极限每题4分其余每题 8分)
求极限

(2) =


(4)












.


解:


验证罗尔中值定理对函数在区间上的正确性.
解:在闭区间上连续,在开区间内可导,满足罗尔定理条件. (3分)
令,得,满足罗尔定理结论.
试证明对函数应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间.
证明:在区间上,
代入:
解得:.
证明方程在之间有且仅有一个实根.
证明:令,,
所以在上至少一个根,又,
当时,所以单增,因此在上至多有一个根.
在上有且仅有一个根.
设在上连续,在内可导,且,证明:至少存在一个,使得. 提示:令
证明:令,显然在上连续,在内可导,
且(3分)
由Larange中值定理,则至少,使得
又
设在上连续,在内可导,且,证明存在一点,:令.
证明:构造辅助函数, 在上连续,在内可导
在上连续,在内可导,
且
由Rolle定理,至少,有
即
证明:不论b取何值,方程在区间上至多有一个实根
证:令时,故在区间上至多有一个实根.
证明:当时,.
证明: 令,显然在上满足Lagrange中值定理的条
件,由中值定理,至少存在一点,使得
即又即
证明:当时,.
证:
,即有.
求证:
证明:令
当时,
故在区间上,单调递增
从而当时,即
或者:
证明: ……8分
当时,证明:.
答案参看课本p148 例6
证明:当时,
答案参看课本P132 例1
设,
证明:.
证明: