高斯算术的妙用.docx

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在数学世界的王国里,曾出现过无数的天才,其中有一位就是人称"数学王子";的高斯。相信大家都知道,高斯在小时候就巧妙地解出了老师出的一道难题:1+2+3+4+5++100=?你一定也知道这是什么题型吧,不错,这就是后来被称为"高斯算术";的等差数列求和。
这一天,爸爸给我讲了高斯的这个故事,并考我:"1到10的整数之和是多少?";我听了题,心想:太简单了,我用配对法不就可以了吗?想完,我就立刻算了起来:1+10=11;2+9=11;3+8=11;4+7=11;5+6=11;一共5组,11x5=55。
"对了";,爸爸点了点头,加大了难度,继续考我:"刚刚没考倒你,那你知道1到30中的偶数加起来是多少?";这个我马上想用刚刚的计算办法,2+30=32,可是一共几组呀?配好了对,一组组去数也太繁琐了吧?此时的我,真是一筹莫展,只好向爸爸请教。
爸爸却卖起了关子,"我们先来想一下高斯的方法吧,那些数经过高斯一一配对,每一对数的和其实就是平均数的两倍,我们把这个和除以2,那是不是表示,有多少个数就相当于有多少个平均数?";
爸爸看我点点头,继续说道:"这样就形成了一个公式,和=〔首项+未项〕÷2x项数。";
"那这个项数怎么知道呀?";我想起刚刚我卡住的地方,急忙问道。
"这个项数呀,表示有多少个数,这和他们的公差有关,高斯那道题,因为是自然数,他们的公差是1,所以没体现出来,但我们现在求的是偶数之和,他们的公差是2,项数的重要性就体现出来了。";
爸爸看我着急的样子,就在纸上写下一个公式:项数=〔末项-首项〕÷公差+1,并解释说:"这个公式中末项首项"求出的是总差,再除以公差,再加上1就得到了项数。";
"为什么要加1呀?";
"这就像我们种树,每一个树坑就是一个项,间距就是公差,我们从第一个坑到最后一个坑的距离是总长度,总长度除以间距得出的是什么呢?对了,是一共有几个间距,我们关注的是有几个坑,种树的"坑";的是不是要比"间距";多"1";呀《";
听了爸爸的解答,我马上列出一个算式来:〔30-2〕÷2+1=15,〔2+30〕÷2x15=240。是呀,"首项+末项";是平均数的两倍,因此要除以2,然后乘以"项数";就可以得出答案了。
我快乐地在纸上写下了这个公式:和=〔首项+未项〕÷2x项数。咦,这个公式怎么这么眼熟呢?我开始在脑海中搜寻,哦,梯形的面积公式和它很相似呀梯形的"上底+下底";不就相当于"首项+末项";吗?如果把高看成公式中的项数,则"x高÷2";不就是"x项数÷2";吗?
其实,这不是想起数学上的"堆木头";问题吗?要计算木头的总数,以前总是一层层相加,计算得很累,还容易出错,要求它们的面积是相当于求等差数列的和,公式就可以通用,则不就可以应用起来了吗?右图的钢管总数=〔第一层+第四层〕÷2x层数=(2+5)÷2x4=14根,我一数,正确!
我的思考又向前迈了一步:与梯形比拟相似的是三角形,如果,我们把三角形看成上底是"0";的一个梯形,那三角形面积的公式不就成了〔0+底〕÷2x项数〔高〕,我茅塞顿开:原来它们都是一个祖宗生出来的!
看来,在数学世界中,隐藏着无数的奥秘和宝藏,只要我们用心探索,一定会有意想不到的收获!