三角形证明（共20篇）.docx

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三角形证明(共20篇)
第17篇:证明三角形全等(四)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法
一、倍长中线(线段)造全等
例
2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+
3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分∠
二、截长补短
1、如图,DABC中,AB=2AC,AD平分ÐBAC,且AD=BD,求证:CD⊥AC
E
F
B
D
C
2、如图,AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD求证;AB=AC+BD
A
3、如图,已知在VABC内,ÐBAC=60,ÐC=400,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是ÐBAC,ÐABC的角平分线。
C
A
BDEC
B
应用:
1、(09崇文二模)以DABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtDABD和等腰RtDACE,ÐBAD=ÐCAE=90°,连接DE,M、N分别是BC、:AM与DE的位置关系及
求证:BQ+AQ=AB+BP
数量关系.
(1)如图①当DABC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是,线段AM与DE的数量关系是;
(2)将图①中的等腰RtDABD绕点A沿逆时针方向旋转q(0°
C
4、如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分ÐABC,求证:ÐA+ÐC=180
C
5、如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC
A
四、借助角平分线造全等
1、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平
应用:
分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD
B
B
C
2、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥
(1)说明BE=CF的理由;(2)如果AB=a,AC=b,求AE、
G
C
F
D
三、平移变换
例1AD为△ABC的角平分线,直线MN⊥,△ABC周长记为PA,△>:
1、如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
例2如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:AB+AC>AD+
图①
B
M
PN
图②
DC
D
BDE
C
图③
C
五、旋转
例1正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1)当ÐMDN绕点D转动时,求证DE=DF。(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。
3、在等边DABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为VABC外一点,且
°°
当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、ÐMDN=60,ÐBDC=120,BD=:
MN之间的数量关系及DAMN的周长Q与等边DABC的周长L的关系.
A
D
F
B
E
C
A
例3如图,DABC是边长为3的等边三角形,DBDC是等腰三角形,且Ð为顶点做一个600角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则DAMN的周长为;
2、(西城09年一模)已知以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;
(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠
3(I)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是;此时
QL
=;
(II)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DM¹DN时,猜想(I)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明;
(III)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN=x,则Q=(用
.x、L表示)
B
C
第18篇:三角形的证明单元测试
三角形的证明单元测试(北师版),在△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AD=AC,AD与BC相交于点E,∠CAD=30°,则∠BCD的度数为()nn1nn2nn3nn5)))),在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别是D,E,AD,CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长是(3.(本小题10分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是∠BAC的平分线,若CD=2,那么BD等于(4.(本小题10分)在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D是BC上的一点,那么点D到AB与AC的距离之和为(,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点P,则∠APE的度数为(6.(本小题10分)如图,△ABC和△CDE均为等边三角形,∠EBD=62°,则∠AEB的度数为()nn6nn7nn10nn7.(本小题10分)如图,A,C,B三点在同一条直线上,△DAC和△EBC都是等边三角形,AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,有如下结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=,正确结论的个数是(8.(本小题10分)下列命题中,其逆命题不成立的是(n··nn)nn),,)nn9.(本小题10分)用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°”时,应假设(°°°°10.(本小题10分)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线DF交△ABC的外角平分线AD于点D,DE⊥AB于点E,()=AC+=AC+=AC+=AC+ADnn
第19篇:证明一、证明二、证明三_解直角三角形小结
北师大版证明一,证明二,证明三,解直角三角形知识点总结
证明
(一)
1、本套教材选用如下命题作为公理:
(1)、两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。(2)、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。(3)、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。(4)、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。(5)、三边对应相等的两个三角形全等。(6)、全等三角形的对应边相等、对应角相等。
此外,等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看做公理。
2、平行线的判定定理
公理两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。简单说成:同位角相等,两直线平行。
定理两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。简单说成:同旁内角互补,两直线平行。
定理两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。简单说成:内错角相等,两直线平行。
3、平行线的性质定理
公理两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
简单说成:两直线平行,同位角相等。定理两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。
简单说成:两直线平行,内错角相等。定理两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
简单说成:两直线平行,同旁内角互补。如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
4、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180o。
5、三角形内角和定理的推论
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
证明
(二)
一、公理(1)三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。
(2)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)。(3)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)。(4)全等三角形的对应边相等、对应角相等。推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS”)。
二、等腰三角形
1、等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)。等腰三角形的其他性质:
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。③等腰三角形的三边关系:设腰长为a,底边长为b,则
b
2180°-ÐA
22、等腰三角形的判定方法
(1)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边)。(2)、等边三角形
性质:(1)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°。(2)三线合一判定方法:(1)三条边都相等的三角形是等边三角形(2)三个角都相等的三角形是等边三角形
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
四、直角三角形
(一)、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余
2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°
4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
5、勾股定理:直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a
2+b2
=c2
其它性质:
1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。
2、常用关系式:由三角形面积公式可得:
两直角边的积=斜边与斜边上的高的积(等面积法)
(二)、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a,b,c有关系a
2+b2
=c2,那么这个三角形是直角三角形。
北师大版证明一,证明二,证明三,解直角三角形知识点总结
(三)直角三角形全等的判定:
对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
五、角的平分线及其性质与判定
1、角的平分线:从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。