12解三角形应用举例(测量距离高度角度).docx

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(丈量距离、高度、角度)
(丈量距离、高度、角度)
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福建美佛儿学校自主型张开大讲堂数学导教课方案
班级姓名设计者日期
课题:§〔第一课时丈量距离问题〕课时:3课时
●讲课目的
知识与技术:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关丈量距离的实诘问题,认识常用的丈量有关术语
过程与方法:第一经过奇妙的设疑,顺利地指引新课,为此后的几节课做优秀铺垫。其次联合学生的实质状况,采纳“提出问题——引起思虑——研究猜想——总结规律——反响训练〞的讲课过程,依据大纲领求以及讲课内容之间的内在关系,张开例题,设计变式,帮助学生掌握解法,能够类比解决实诘问题。
感神情度与价值观:激发学生学****数学的兴趣,并意会数学的应用价值;同时培育学生运用图形、数学符号表达题意和应用转变思想解决数学识题的能力
●讲课要点
实诘问题中抽象出一个或几个三角形,此后逐一解决三角形,获得实诘问题的解
●讲课难点
依据题意成立数学模型,画出表示图
●讲课过程
一、课题导入
1、[复****旧知]
复****发问什么是正弦定理、余弦定理以及它们能够解决哪些种类的三角形?
2、[设置情境]
请学生回复完后再发问:前眼前言第一章“解三角形〞中,我们碰到这么一个问题,“遥不可以及的月亮离我们地球终究有多远呢?〞在古代,天文学家没有先进的仪器就已经预计出了二者的距离,是什么奇怪的方法研究到这个奇特的呢?我们知道,对于未知的距离、高度等,存在着很多可供选择的丈量方案,比方能够应用全等三角形、相像三角形的方法,或借助解直角三角形等等不一样样的方法,但因为在实质丈量问题的真切背景下,某些方法会不可以够实行。如因为没有足够的空间,不可以够用全等三角形的方法来丈量,因此,有些方法会有限制性。于是上边介绍的问题是用从前的方法所不可以够解决的。今日我们开始学****正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用,第一研究如何丈量距离。
二、解说新课
1〕解决实质丈量问题的过程一般要充分仔细理解题意,正确做出图形,把实诘问题里的条件和所求变换成三角形中的和未知的边、角,经过成立数学模型来求解
[例题解说]
(2)例1、如图,设A、B两点在河的两岸,要丈量两点之间的距离,丈量者在A的同
侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m,BAC=51,ACB=75。求A、B两点的距离()
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启迪发问:
ABC中,依据的边和对应角,运用哪个定理比较适合?
分析:这是一道对于丈量从一个可抵达的点到一个不可以抵达的点之间的距离的问题
,题目
条件告诉了边AB的对角,AC为边,再依据三角形的内角和定理很简单依据两个
角算出AC的对角,应用正弦定理算出
AB边。
解:依据正弦定理,得
AB
=
AC
sinACB
sinABC
AB=
ACsinACB
sinABC
55sinACB
sinABC
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=
=

55sin75
sin(1805175)
55sin75
sin54
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(m)
答:A、
变式练****海上有A、B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60的视角,从B
岛望C岛和A岛成75的视角,问:B、C间的距离
例2、如图,A、B两点都在河的对岸〔不可以抵达〕,设计一种丈量A、B两点间距离的方法。分析:这是例1的变式题,研究的是两个不可以抵达的点之间的距离丈量问题。第一需要构
造三角形,因此需要确立C、D两点。依据正弦定理中三角形的随意两个内角与一边
既可求出另两边的方法,分别求出AC和BC,再利用余弦定理能够计算出AB的距离。
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解:丈量者能够在河岸边选定两点C、D,测得CD=a,而且在C、D两点分别测得BCA=,
ACD=,CDB=,BDA=,在ADC和BDC中,应用正弦定理得
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AC
BC

=
=

asin(
)
=
sin[180
(
)]
asin
=
sin[180
(
)]

asin()
sin()
asin
sin()
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计算出AC和BC后,再在ABC中,应用余弦定理计算出AB两点间的距离
AB=AC2BC22ACBCcos
变式训练:假定在河岸采纳相距40米的C、D两点,测得BCA=60,ACD=30,CDB=45,
BDA=60,求AB间的距离
解:AB=206
评注:在研究三角形时,灵巧依据两个定理能够找寻到多种解决问题的方案,但有些过程较复杂,如何找到最优的方法,最主要的仍是分析两个定理的特色,联合题目条件来选择最正确的计算方式。
三、当堂训练
1、海上有A、B、C三个小岛,A、B之间相距8海里,A、C之间相距5海里,在A岛
测得B岛和C岛的视角为60,问:B岛与C岛相距多少海里?
2、课本第14页练****第1、2题
四、能力提高
1、两灯塔A、B与大海察看站C的距离都等于akm,灯塔A在察看站C的北偏东30,灯
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塔B在察看站C南偏东60,那么A、B之间的距离为多少?〔解略:2akm〕
2、在海中有一小岛B,,军舰由向东航行到A,看见岛B在北偏东75,
航行8海里岛C,看见岛B在北偏东60,假定此军舰不改变航向连续航行,有无触礁危险?
〔绘图p9〕
第二课时丈量高度问题
●讲课过程
一、课题导入
发问:现实生活中,人们是如何丈量底部不可以抵达的建筑物高度呢?又如何在水平遨游的飞机上丈量飞机下方山顶的海拔高度呢?今日我们就来共同商讨这方面的问题
二、解说新课
[典范解说]
例1、AB是底部B不可以抵达的一个建筑物,A为建筑物的最高点,设计一种丈量建筑物高度AB的方法。
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分析:求AB长的要点是先求AE,在
ACE中,如能求出
C点到建筑物顶部A的距离CA,
再测出由C点察看A的仰角,就能够计算出
AE的长。
解:选择一条水平基线
HG,使H、G、B三点在同一条直线上。由在
H、G两点用测角仪器
测得A的仰角分别是
、,CD=a,测角仪器的高是
h,那么,在
ACD中,依据正弦
定理可得
AC=
asin
sin(
)
AB=
AE+h
=
ACsin
+h
=
asin
sin
+h
sin(
)
变式训练:在地面A处测得树梢的仰角为60,A与树底部B相距为5cm,问:树高?
例2、如图,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=5440,在塔底C处测得A
处的俯角=501。,求出山高CD(精准到1m)
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解:在ABC中,BCA=90+,ABC=90-,BAC=-,BAD=.
依据正弦定理有:
BC
=
AB
sin()
sin(90)
AB=BCsin(90
)=BCcos
)
sin(
)
sin(
解RtABD中,得BD=ABsin
BAD=BCcos
sin
sin(
)
将丈量数据代入上式
,得BD=

sin(5440501)
=
≈177(m)
sin439
CD=BD-BC≈177-=150(m)
答:山的高度约为150米.
思虑:有没有其他解法呢?
例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶
D在东偏南15的方向上,行驶5km后抵达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为
8,求此山的高度CD.
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解:在ABC中,A=15,C=25-15=10,依据正弦定理,
BC=AB,
sinAsinC
BC=ABsinA=5sin15
sinCsin10
(km)
CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m)
答:山的高度约为1047米
变式训练:有一长为10cm的斜坡,它的坡角是75,在不改变坡高和坡顶的前提下,经过
加成坡面的方法将它的坡角改为30,问坡底要延伸多少cm?(绘图p11)
三、当堂训练
1、课本第16页练****br/>2、在楼顶测得距楼底水平距离为3m处的一物体的俯角为60,那么楼高为
3、一斜坡长1km,其坡角为30,那么斜坡的铅直高度为
四、能力提高
1、为测某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30,
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测得塔基B的俯角为45,那么塔AB的高度为多少m?〔答案:20+203(m)〕
3
2、在地面C处察看同一铅垂面内迎面飞来的一架飞机,当飞机在A处时测得其仰角为30,
过1min后,飞机抵达B处,又测得飞机的仰角为75,假如该飞机以480km/h的速度沿水
平方向遨游,试求飞机的高度。〔绘图P11〕
3、在丈量河对岸的塔高AB时,能够选与塔底B在同一水平面内的两个察看点C、D,测得
BCD,BDC,CDS,并在点C丈量塔顶A的仰角为,求塔高AB.
(绘图P12)
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第三课时丈量角度问题
●讲课过程
一、课题导入
[创办情境]
发问:前面我们学****了如何丈量距离和高度,这些实质上都可转变三角形的一些边和
角求其他边的问题。但是在实质的航海生活中,人们又会碰到新的问题,在浩大无垠的海面上如何保证轮船不迷失方向,保持必然的航速和航向呢?今日我们接着商讨这方面的测
量问题。
二、解说新课
[典范解说]
例1、如图,一艘海轮从A出发,,然
后从B出发,
出发抵达C,此船应当沿如何的方向航行,需要航行多少距离?(,距离精准
)
学生看图思虑并表达解题思路
教师依据学生的回复概括分析:第一依据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC,即可用余弦定理算出AC边,再依据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。
解:在ABC中,ABC=180-75+32=137,依据余弦定理,
AC=AB2BC22ABBCcosABC
=
依据正弦定理,
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BC=
AC
sin
CAB
sinABC
sin
CAB=
BCsinABC
AC
=

.15
,
因此,
75-
答:此船应当沿北偏东的方向航行,
例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为,沿BE方向行进30m,至点C处测
得顶端A的仰角为2,再连续行进103m至D点,测得顶端A的仰角为4,求的大
小和建筑物AE的高。
解法一:〔用正弦定理求解〕由可得在ACD中,
AC=BC=30,
AD=DC=103,
ADC=180
-4
,
103=
30
。
sin2
sin(180
4
)
因为sin4
=2sin2
cos2
cos2
=
3,得2
=30
2
=15
,
在Rt
ADE中,AE=ADsin60=15
答:所求角
为15
,建筑物高度为15m
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