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中考数学总复习专题十与几何图形有关的探究题试题新人教版【含解析】.docx


文档分类:中学教育 | 页数:约8页 举报非法文档有奖
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中考数学总复****专题十与几何图形相关的研究题试题新人教版【含分析】
中考数学总复****专题十与几何图形相关的研究题试题新人教版【含分析】
专题十与几何图形相关的研究题
图形变化问题
【例1】(2016·沈阳)在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,将△ABC绕点A按顺时针方
向旋转,获得△ADE,旋转角为α(0°<α<180°),点B的对应点为点D,点C的对应点
为点E,连结BD,BE.
如图,当α=60°时,延长BE交AD于点F.①求证:△ABD是等边三角形;
②求证:BF⊥AD,AF=DF;
③请直接写出BE的长;
在旋转过程中,过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连结CE,当∠DAG=∠ACB,且线段DG与线段AE无公共点时,请直接写出BE+CE的值.
剖析:(1)①由旋转性质知AB=AD,∠BAD=60°即可得证;②由BA=BD,EA=ED依据垂直均分线的性质即可得证;③分别求出BF,EF的长即可得答案;(2)由等量代换可证∠BAE=∠BAC,依据三线合一可得CE⊥AB,进而可得CE=2CH=8,BE=5,即可得答案.
解:(1)①∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°获得△ADE,∴AB=AD,∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形
②由①得△ABD是等边三角形,∴AB=BD,∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°获得△ADE,∴AC=AE,BC=DE,又∵AC=BC,∴EA=ED,∴点B,E在AD的垂直均分线上,∴BE是AD的垂直均分线,∵点F在BE的延长线上,∴BF⊥AD,AF=DF
③由②知BF⊥AD,AF=DF,∴AF=DF=3,∵AE=AC=5,∴EF=4,∵在等边三角形ABD
中,BF=AB·sin∠BAF=6×3=33,∴BE=BF-EF=33-4
2
如图,∵∠DAG=∠ACB,∠DAE=∠BAC,∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°,又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°,∴∠BAE=∠ABC,∵AC=BC=AE,∴
11
∠BAC=∠ABC,∴∠BAE=∠BAC,∴AB⊥CE,且CH=HE=2CE,∵AC=BC,∴AH=BH=2AB
3,则CE=2CH=8,BE=AE=5,∴BE+CE=13
几何图形中的动点问题
【例2】(2016·达州)△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右边作正方形ADEF,连结CF.
1
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察看猜想
如图1,当点D在线段BC上时,①BC与CF的地点关系为__垂直__;②BC,CD,CF之间的数目关系为__BC=CD+CF__;
数学思虑
如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②能否仍旧建立?若建立,请赐予证明;若不建立,请你写出正确结论再赐予证明.
拓展延长
如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,=22,
1
CD=BC,恳求出GE的长.
4
剖析:(2)依据正方形的性质获得∠BAC=∠DAF=90°,推出△DAB≌△FAC,依据全等
三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可获得结论;(3)过A作AH⊥BC于点H,过E
作EM⊥BD于点M,EN⊥CF于点N,先求出AH,DH,证△ADH≌△DEM(AAS)获得EM=DH,DM
=AH,由等量代换获得CN=EM,EN=CM,依据等腰直角三角形的性质获得CG=BC=4,依据勾股定理即可获得结论.
解:(2)CF⊥BC建立;BC=CD+CF不建立,CD=CF+:∵正方形ADEF,∴AD=AF,∵∠BAC=∠DAF=90°,∴∠BAD=∠CAF,可证△DAB≌△FAC(SAS),∴∠ABD=∠ACF,∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=45°.∴∠ABD=180°-45°=135°,∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90°,∴CF⊥BC.∵CD=DB+BC,DB=CF,∴CD=CF+BC
(3)过A作AH⊥BC于点H,过E作EM⊥BD于点M,EN⊥CF于点N,∵∠BAC=90°,AB
111
=AC,∴BC=2AB=4,AH=2BC=2,∴CD=4BC=1,CH=2BC=2,∴DH=3,由(2)证得BC⊥CF,CF=BD=5,∵四边形ADEF是正方形,∴AD=DE,∠ADE=90°,∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF,∴四边形CMEN是矩形,∴NE=CM,EM=CN,∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°,∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°,∴∠ADH=∠DEM,可证△ADH≌△DEM(AAS),∴EM=DH=3,DM=AH=2,∴CN=EM=3,EN=CM=3,∵∠ABC=45°,∴∠BGC=45°,∴△BCG是等腰
直角三角形,∴CG=BC=4,∴GN=1,∴EG=
2
2
GN+EN=10
几何图形中的动线问题
【例3】(2016·广东)如图,BD是正方形ABCD的对角线,BC=2,边BC在其所在的
直线上平移,将经过平移获得的线段记为PQ,连结PA,QD,并过点Q作QO⊥BD,垂足为O,连结OA,OP.
请直接写出线段BC在平移过程中,四边形APQD是什么四边形?
请判断OA,OP之间的数目关系和地点关系,并加以证明;
在平移变换过程中,设y=S△OPB,BP=x(0≤x≤2),求y与x之间的函数关系式,并求出y的最大值.
剖析:(2)证△AOB≌△POQ,可得AO与OP的数目与地点关系;(3)依据等腰直角三角形
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的性质可得
OE的长,依据三角形的面积公式可得二次函数,
依据二次函数的性质可得答案.
解:(1)
四边形APQD为平行四边形
(2)OA=OP,OA⊥:∵四边形
ABCD是正方形,∴AB=BC=PQ,∠ABO=∠OBQ=
45°,∵OQ⊥BD,∴∠PQO=45°,∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°,∴OB=OQ,可证
△AOB≌△POQ(
),∴OA=OP,∠AOB=∠POQ,∴∠AOP=∠BOQ=90°,∴OA⊥OP
SAS
x+2
(3)过点O作OE⊥BC于点E.①如图
1,当P点在B点右边时,则BQ=x+2,OE=2
,
1
x+2
1
21
∴y=2×
2·x,即y=4(x+1)
-4,又∵0≤x≤2,∴当x=2时,y有最大值为
2;②如
2-x
1
2-x
1
2
图2,当P点在B点左边时,则BQ=2-x,OE=
2,∴y=2×
2·x,即y=-4(x-1)
1
1
+,又∵0≤x≤2,∴当x=1时,y有最大值为
.综上所述,平移过程中△OPB的面积的最
4
4
大值为2
1.(导学号59042307)(2016·福州)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点,将△ADM沿直线AM对折,获得△ANM.
当AN均分∠MAB时,求DM的长;
连结BN,当DM=1时,求△ABN的面积;
当射线BN交线段CD于点F时,求DF的最大值.
解:(1)由折叠知△ANM≌△ADM,∴∠MAN=∠DAM,∵AN均分∠MAB,∴∠MAN=∠NAB,
∴∠DAM=∠MAN=∠NAB,∵四边形
ABCD是矩形,∴∠DAB=90°,∴∠DAM=30°,∴DM
=AD·tan∠DAM=3×tan30°=3×
3
=3
3
如图1,延长MN交AB延长线于点Q,∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥DC,∴∠DMA
=∠MAQ,由折叠知△ANM≌△ADM,∴∠DMA=∠AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1,∴∠MAQ=∠AMQ,
∴MQ=AQ,设NQ=x,则AQ=MQ=1+x,∵∠ANM=90°,∴∠ANQ=90°,在Rt△ANQ中,
由勾股定理得
2
2
2
2
2
2
AQ=AN
+NQ,∴(x+1)=3
+x,解得x=4,∴NQ=4,AQ=5,∵AB=4,
4
4
1
4
1
24
AQ=5,∴S△NAB=
5S△NAQ=

2AN·NQ=

2×3×4=
5
如图2,过点A作AH⊥BF于点H,∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥DC,∴∠HBA=∠BFC,
∵∠AHB=∠BCF=90°,∴△ABH∽△BFC,∴
BH
CF
N,H
=
,∵AH≤AN=3,AB=4,∴当点
AH
BC
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重合(即AH=AN)时,AH最大,BH最小,CF最小,DF最大,此时点M,F重合,B,N,M三点共线,如图3,由折叠知AD=AH,∵AD=BC,∴AH=BC,可证△ABH≌△BFC(AAS),∴CF
=BH,由勾股定理得
BH=
2
2
2
2
7,∴CF=
7,∴DF的最大值=DC-CF=
AB-AH=
4-3
=
4-7
2.(导学号59042308)(2016·黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的极点O是坐标原点,点A在第一象限,点C在第四象限,点B在x轴的正半轴上,∠OAB=90°且OA=AB,OB,OC的长分别是一元二次方程x2-11x+30=0的两个根(OB>OC).
求点A和点B的坐标;
点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O,B重合),过点P的直线l与y轴平行,
直线l交边OA或边AB于点Q,,线段QR的长度为m,已知t=4时,直线l恰巧过点C,当0<t<3时,求m对于t的函数关系式;
当m=,请直接写出点P的坐标.
解:(1)∵方程x2-11x+30=0的解为x1=5,x2=6,∴OB=6,OC=5,∴B点坐标为
(6,0),作AM⊥x轴于点M,∵∠OAB=90°且OA=AB,∴△AOB为等腰直角三角形,∴
OM
1
=BM=AM=2OB=3,∴A点坐标为(3,3)
(2)作CN⊥x轴于点N,∵t=4时,直线l恰巧过点C,∴ON=4,在Rt△OCN中,CN=
2
2
2
2
3
OC-ON=
5-4
=3,∴C点坐标为(4,-3),可求直线
OC的分析式为
y=-4x,直线
3
3
7
OA的分析式为y=x,∵P(t,0)(0<t<3),∴Q(t,t),R(t,-4t),∴QR=t-(-4t)=4
7
t,即m=4t(0
<t<3)
3
(3)可求直线AB的分析式为y=-x+6,直线BC的分析式为y=x-9,当0<t<3时,
2
7
7
m=4t,若m=,则4t=,解得t=2,此时P点坐标为(2,0);当3≤t<4时,Q(t,
3
3
1
1
-t+6),R(t,-t),∴m=-t+6-(-t)=-
t+6,若m=,则-
t+6=,解
4
4
4
4
3
3
得t=10(不合题意舍去);当4≤t<6时,Q(t,-t+6)
,R(t,t-9),∴m=-t
+6-(
2
2
5
5
23
23
t-9)=-2t+15,若m=,则-2t+15=,解得t
=
5
,此时P点坐标为(
5
,0).综
上所述,知足条件的
P点坐标为(2,0)或(
23,0)
5
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3.(导学号59042309)(2016·扬州)已知正方形ABCD的边长为4,一个以点A为极点的45°角绕点A旋转,角的两边分别与边BC,DC的延长线交于点E,F,=a,CF=b.
如图1,当∠EAF被对角线AC均分时,求a,b的值;
当△AEF是直角三角形时,求a,b的值;
如图3,研究∠EAF绕点A旋转的过程中a,b知足的关系式,并说明原因.
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCD=90°,∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠ACB=∠ACD=45°,∴∠ACF=∠ACE,∵∠EAF被对角线AC均分,∴∠CAF=∠CAE,可证△ACF≌△ACE(ASA),∴AF=CE,CF=CE,∵CE=a,CF=b,∴a=b,∵AF=CE,∴∠AEF=∠AFE,∵∠EAF=45°,∴∠AEF=∠AFE=°,∵CE=CF,∠ECF=90°,∴∠CEF=∠CFE=45°,∴∠AEC=∠AFC=°,∵∠CAF=∠CAE=°,∴∠CAE=∠CEA,∴CE=AC=42,即a=b=42
当△AEF是直角三角形时,①若∠AEF=90°,∵
EAF=45°,∴∠AFE=45°,∴△AEF是等腰直角三角形,AE=EF,∵∠AEB+∠BEF
90°,∠AEB+∠BAE=90°,∴∠BEF=∠BAE,可证△ABE≌△ECF(AAS),∴AB=EC,BE
=CF,即a=AB=4,b=BE=BC+CE=8;②若∠AFE=90°,同①的方法知CF=4,CE=8,
a=8,b=4
(3)ab=:如图,∵AC是正方形ABCD的对角线,∠EAF=45°,∴∠ACD=45°,
ACF=135°,∠ACE=135°,又∵∠ACD=∠CAF+∠AFC,∠EAF=∠EAC+∠FAC,∴∠AFC
ACCF
22
=∠EAC,又∵∠ACF=∠ACE=
135°,∴△ACF∽△ECA,∴EC=AC,∴EC×CF=AC=2AB
=32,∴ab=32
1.(导学号59042310)(2016·随州)喜好思虑的小茜在研究两条直线的地点关系查阅
资料时,发现了“中垂三角形”,即两条中线相互垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图
1,图2,图3中,AM,BN是△ABC的中线,AM⊥BN于点P,像△ABC这样的三角形均为“中
垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c.
【特例研究】
(1)如图1,当tan∠PAB=1,c=42时,a=__45__,b=__45__;如图2,当∠PAB=30°,c=2时,a=__7__,b=__13__;
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【概括证明】
请你察看(1)中的计算结果,猜想a2,b2,c2三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你的结论.
【拓展证明】
如图4,?ABCD中,E,F分别是AD,BC的三均分点,且AD=3AE,BC=3BF,连结
AF,BE,CE,且BE⊥CE于点E,AF与BE订交点G,AD=35,AB=3,求AF的长.
解:(2)a2+b2=5c2.
证明:连结MN.∵AM,BN是中线,
1
∴MN∥AB,MN=2AB,∴△MPN∽△APB,
MPPN1
∴==,
APPB2
设MP=x,NP=y,则AP=2x,BP=2y,
2
2
2
2
2
2
2
∴a
=BC=4BM=4(MP+BP)=
4x+16y
,
2
2
2
2
2
=4y
2
+16x
2
b=AC=4AN=4(PN
+AP)
,
2
2
2
2
2
2
c=AB=AP
+BP=4x
+4y
,
a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2
由AAS可证△AGE≌△FGB,∴BG=FG,
取AB中点H,连结FH并延长交DA的延长线于点P,同理可证△APH≌△BFH,
∴AP=BF,PE=CF=2BF,
即PE∥CF,PE=CF,
∴四边形CEPF是平行四边形,∴FP∥CE,
BE⊥CE,∴FP⊥BE,即FH⊥BG,
∴△ABF是中垂三角形,
由(2)可知AB2+AF2=5BF2,
1
AB=3,BF=AD=5,3
9+AF2=5×(5)2,∴AF=4
2.(导学号59042311)(2016·河南)(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.
填空:当点A位于__CB的延长线上__时,线段AC的长获得最大值,且最大值为__a+b__.(用含a,b的式子表示)
应用:如图2,点A为线段BC外一动点,且BC=3,AB=1,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连结CD,BE.
①请找出图中与BE相等的线段,并说明原因;
②直接写出线段BE长的最大值.
拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),
点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.
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解:(2)①CD=BE,原因:∵△=∠CAE=60°,∴∠BAD+△CAD≌△EAB(SAS),∴CD=BE

ABD与△ACE是等边三角形,∴AD=AB,AC=AE,∠BAD∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB,可证
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②∵线段BE长的最大值=线段CD长的最大值,由(1)知,当线段CD的长获得最大值时,点D在CB的延长线上,∴最大值为BD+BC=AB+BC=4
如图1,连结BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°获得△PBN,连结AN,则△APN
是等腰直角三角形,∴PN=PA=2,BN=AM,∵A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),∴OA=2,OB=5,∴AB=3,∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值,
∴当点N在线段BA的延长线上时,线段BN获得最大值,最大值=AB+AN,∵AN=2AP
=22,∴最大值为22+,过P作PE⊥x轴于E,∵△APN是等腰直角三角形,
1
∴PE=AE=2AN=2,∴OE=OA-AE=2-2,∴P(2-2,2)
3.(导学号59042312)(2016·葫芦岛)如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
点E在AC上(且不与点A,C重合),在△ABC的外面作△CED,使∠CED=90°,DE=CE,连结AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,连结AF.
请直接写出线段AF,AE的数目关系__AF=2AE__;
将△CED绕点C逆时针旋转,当点E在线段BC上时,如图②,连结AE,请判断线段AF,AE的数目关系,并证明你的结论;
(3)在图②的基础上,将△CED绕点C持续逆时针旋转,请判断(2)问中的结论能否发生变化?若不变,联合图③写出证明过程;若变化,请说明原因.
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解:(2)AF=:连结EF,DF交BC于点K.∵四边形ABFD是平行四边形,∴AB∥DF,∴∠DKE=∠ABC=45°,∴∠EKF=180°-∠DKE=135°,∵∠ADE=180°-∠EDC
180°-45°=135°,∴∠EKF=∠ADE,∵∠DKC=∠C,∴DK=DC,∵DF=AB=AC,∴KF
=AD,可证△EKF≌△EDA(SAS),∴EF=EA,∠KEF=∠AED,∴∠FEA=∠BED=90°,∴△AEF是等腰直角三角形,∴AF=2AE
结论不变,AF=:连结EF,延长FD交AC于点K.∵∠EDF=180°-∠KDC-
∠EDC=135°-∠KDC,∠ACE=(90°-∠KDC)+∠DCE=135°-∠KDC,∴∠EDF=∠ACE,∵DF=AB,AB=AC,∴DF=AC,可证△EDF≌△ECA(SAS),∴EF=EA,∠FED=∠AEC,∴∠
FEA=∠DEC=90°,∴△AEF是等腰直角三角形,∴AF=2AE
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