力学方法专题一整体法和隔离体法.pdf

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整体法与隔离法
平衡态问题的研究方法,从研究对象的选取看,有整体法和隔离体法;从具体的求解过程看,有定量
计算法(解析法)和定性分析法;从定量计算法的运用数学知识看,又分为相似三角形法和正弦、余弦定
理及直角三角形的边角关系等方法。定性分析法,因不要求定量计算,一般采用图示法(力三角形法或平
行四边形法)。另外还有常见的假设法、正交分解法等。
一、整体法和隔离体法(静力学中的应用)
整体法:整体法是指对物理问题中的整个系统或整个过程进行分析、研究的方法。在力学中,就是把
几个物体视为一个整体,作为研究对象,受力分析时,只分析这一整体对象之外的物体对整体的作用力(外
力),不考虑整体内部之间的相互作用力(内力)。
隔离法:隔离法是指对物理问题中的单个物体或单个过程进行分析、研究的方法。在力学中,就是把
要分析的物体从相关的物体体系中隔离出来,作为研究对象,只分析该研究对象以外的物体对该对象的作
用力,不考虑研究对象对其他物体的作用力。
对于连接体的平衡问题,在不涉及物体间相互作用的内力时,应首先考虑整体法,其次再考虑隔离体
法。通常在分析外力对系统的作用时用整体法,在分析系统内各物体(各部分)间相互作用时用隔离体法。
有时一道题目的求解要整体法、隔离体法交叉运用。
,光滑的金属球B放在纵截面为等腰三角形的物体A与竖直墙壁之间,恰好匀速下滑,
已知物体A的重力是B的重力的6倍,不计球跟斜面和墙壁之间摩擦,问:物体A
与水平面之间的动摩擦因数μ是多少?(3/7)
,两块同样的条形磁场A、B,它们的质量均为m,将它们竖直叠放在水平桌
面上,用弹簧秤通过一根细线竖直向上拉磁铁A,若弹簧秤上的读数为mg,则B与A的弹力
F及桌面对B的弹力F分别为()
12
=0,F==mg,F=0
1212
>0,F<>0,F=mg
1212
,人重600N,木板重400N,人与木板、木板与地面间的动摩擦
,今人用水平力拉绳,使他与木板一起向右匀速运动,则()


,如图所示,静止在水平地面上,现有大小相等、
方向相反的力F分别作用的第2块和第4块木块上,四木块仍然静止,则从上到下各层
接触面间的摩擦力多大?
,质量为m=2kg的物体,置于质量为M=10kg的斜面体上,现
用一平行于斜面的力F=20N推物体,使物体向上匀速运动,斜面体的倾角α=37°,
始终保持静止,求地面对斜面体的摩擦力和支持力(取g=10m/s2)
:.
,在粗糙水平面上有一个三角形木块,在它的两个粗糙斜面上分别放两个质量为m和m
12
的小木块,m>m,已知三角形木块和两个小木块均静止,则粗糙水平面对三角形木块()
12

,摩擦力方向水平向右
,摩擦力方向水平向左
,但方向无法确定,因为m、m、θ和θ的数值并未给出
1212
,m与M之间有一处于压缩状态的弹簧,整个装置处
于静止状态,如图所示,则关于M和m受力情况的判断,正确的是()


,物体A、B的质量m=6kg,m=4kg,A与B、
AB
在外力F的作用下,A和B一起做匀速运动,求A对B和地面对B的摩擦力
的大小和方向(g=10m/s2)
,在两块相同的竖直木板之间,有质量均为m的四块完全相
同的砖,用两个同样大小的水平力压木板,使砖静止不动。⑴木板对第1块砖
和第4块砖的摩擦力为________。⑵第2块砖和第3块砖之间的摩擦力为
_________。⑶第3块砖和第4块砖之间的摩擦力为___________。
,a、b、c三块木块重力均为G,将它们按压在竖直墙上静止,此时b对c的摩擦力()
,,方向竖直向上
,,方向竖直向下
,如图所示。今对小球a持续施加
一个向左偏下30°角的恒力,并对小球b持续施加一个向右偏上300角的大小相等的恒力,最后达到平衡
状态。表示平衡状态的图可能是右图中的()
,质量均为m的两木块a与b叠放在水平面上,a受到斜向上与水平成θ角的力作
用,b受到斜向下与水平成θ角的力作用,两力大小均为F,两木块保持静止状态,则()
、

,质量为M的直角三棱柱A放在水平地面上,三棱柱的斜面是光滑的,
且斜面倾角为θ。质量为m的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间,A和B都处于静止
状态,求地面对三棱柱支持力和摩擦力各为多少?
,AO水平放置,表面粗糙,OB竖直向下,表面
光滑,AO上套有小环P,OB上套有小环Q,两环质量均为m,两环间由一根质粗糙
量可忽略、不可伸长的细绳相连,并在某一位置平衡,如图所示,现将P环向左
移一小段距离,两环再次达到平衡,那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态光滑
比较,AO杆对P环的支持力F和细绳上的拉力F的变化情况是()
N
:.
,,,,F变大
NNNN
,两只均匀光滑的相同小球,质量均为m,置于半径为R的圆柱形容器,
已知小球的半径r(r>R),则以下说法正确的是()
、等于或小于mg
、小于或等于2mg
二、用力三角形法解动态变化问题
由三个力作为三个边组成的三角形,叫力三角形。对受三力作用而平衡的物体,任
两个力的合力必与第三个力等值、反向、共线。这样将力平移后,这三个力便组成一个
首尾依次相连的封闭的力三角形,如图所示。力三角形在处理静态平衡和动态平衡
问题中时常用到。
力三角形法,由于用三角形边的长短来表示力的大小,因而在力三角形中容易
比较各力的大小或某一个力的大小变化情况。
,绳OA、OB等长,O点固定不动,在手持B点沿圆弧向C点
运动的过程中,绳OB的张力将()


,用轻线悬挂的球放在光滑的斜面上,将斜面缓慢向左水平推
动一小段距离,在这一过程中,关于线对球的拉力及球对斜面的压力的变化情况,
下列说法中正确的是()
,,压力变小

,球重G,墙与挡板均是光滑的,当角增大时(<90)()


,挡板与斜面的夹角是θ(如
图),设球对挡板的压力为N,球对斜面的压力为N。以下说法正确的是()
AB
=α时,N==90°时,N最小
BA

BA
,电灯用细绳OA悬挂在两墙之间,只更换OA绳使连接点A上移,保持O
点位置不变,则在A点上移过程中()


,后减小
,AO垂直于OB时拉力最小
,如图所示。当斜面倾角
α由零逐渐增大时(保持挡板竖直),斜面和挡板对圆球的弹力大小的变化是()


,用与竖直方向成θ角(θ<45°)的倾斜轻绳a和水平轻绳b共
同固定一个小球,这时绳b的拉力为T。现保持小球在原位置不动,使绳b在原
1
竖直平面内逆时转过θ角固定,绳b的拉力变为T;再转过θ角固定,绳b的拉
2
力为T,则()
3
=T><T<T
132123
=T<
132
,如图所示,使弹簧秤b按图示位置开始顺时针
方向缓慢转过90角,在这个过程中保持O点位置不动,a弹簧秤的拉伸方向不
变,则整个过程中关于a、b弹簧的读数变化是()
:.
,,b增大
,
,重为G的圆球,被长为L的细绳挂在竖直的,光滑的墙壁上,若加长细
绳的长度,则细绳对球的张力T及墙对球的弹力N各将如何变化:如右图所示()
,,N先减小后增大
。
,物体挂在互成角度的两根绳MO、NO上,绳受拉力分别F、F,若保持M、O位置不
12
动,加长绳ON,使其悬挂点由N移至N′,则()
,两绳拉力的合力减小

1
、O点位置由于末变,所以MO绳拉力F不变
1

2
三、相似三角形法:就是利用力的三角形与边三角形相似,根据相似三角
形对应边成比例求解未知量。
,球心正上方有一光滑的小滑轮,轻绳的
一端系一小球,靠放在半球上的A点,另一端绕过定滑轮后用力拉住,使小球静止,如
图。现缓慢地拉绳,在使小球沿球面由A到B的过程中,半球对小球的支持力N和绳
对小球的拉力T的大小如何变化?
,固定的竖直大圆环半径为R,轻弹簧原长为L(L<2R),其劲度系
k
数为,一端固定在圆环最高点,另一端与小球相连,小球套在环上,所有接触面均
光滑,则小球静止时,弹簧与竖直方向的夹角θ为多少?
,现用一根绳索拴牢此钢梁的两端,
使起重机的吊钩钩在绳索的中点处,如图。若钢梁的长为L,重为G,绳索所能
承受的最大拉力为F,则绳索至少为多长?(绳索重不计)
m
,竖直墙壁上固定一点电荷Q,一个带同种电荷q的小球P,用绝缘细
线悬挂,由于两电荷之间的库仑斥力悬线偏离竖直方向θ角,现因小球所带电荷缓慢减
少,试分析悬线拉力的大小如何变化?
:.
,重为P和q的两个小圆环A和B,都套在一个竖直光滑的大圆环
上,大圆环固定不动,长为L,质量不计的绳两端拴住A和B,然后挂在光滑的钉子
o′上,在圆环中心o的正上方,整个系统平衡时,A和B到钉子距离分别为R和r,
RrL
试证明:。
qPPq
四、力的正交分解法
在很多问题中,常把一个力分解为互相垂直的两个分力,特别在物体受多个力作用时,把物体受到的
各力都分解到互相垂直的两个方向上去,然后分别求每个方向上的力的代数和,这样就可把复杂的矢量运
算转化成了互相垂直方向上的简单的代数运算。
多力合成的正交分解法的步骤如下:
⑴正确选择直角坐标系,通常选择共点力和作用点为坐标原点,直角坐标x、y轴的选择应便尽量多的
力在坐标轴上,
⑵正交分解各力,即分别将各力投影在坐标轴上,分别求x轴和y轴上各力投影的合力F和F。
xy
⑶共点力合力大小和合力的方向
当物体受到多于三个力的作用而平衡时,常用正交分解法求解较为简便。
,质量为m的物体放在倾角为θ的斜面上,它与斜面间的动摩
擦因数为μ,今对物体施加沿斜面向上的拉力作用,物体恰好能匀速上滑,求此
拉力的大小?
2.(2001年全国高考,12)如图1-1-14所示,质量为m、横截面为直角三角形的
物块ABC,∠ABC=α,AB边靠在竖直墙面上,F是垂直于斜面BC的推力,现物块静止
不动,则摩擦力的大小为_______。
,质量为m的物体置于水平地面上,受到一个与水平面方向成α角的
拉力F作用,恰好作匀速直线运动,则物体与水平面间的动摩擦因数是多少?
,重力为G=100N,再在木板上放一货箱A,重力为
2
G=500N,设货箱与木板、,先用绳子把货箱与墙
1
拉紧,如图所示,已知tgθ=3/4,然后在木板上施一水平力F,想把木板从货箱下抽出
来,F至少应为多大?(F=)
min
:.
5.(2002上海)如图所示,风洞实验室中可产生水平方向的、
细直杆放入风洞实验室,小球空径略等大于直径。
⑴当杆在水平方向固定时,调解风力的大小,使小球在杆上做匀速
运动,,求小球与杆间的
动摩擦因数。
⑵保持小球所受的风力不变,使杆与水平方向的夹角为37°并固定,
则小球从静止出发在细杆上滑下距离15m所需时间为多少?(g=10m/s2)
,一个底面粗糙,质量为m的斜面体静止在水平地面上,斜面体
斜面是光滑的,倾角为30°。现用一端固定的轻绳系一质量也为m的小球,小球静
止时轻绳与斜面的夹角也是30°。试求:⑴当斜面体静止时绳的拉力大小?⑵若地
面对斜面体的最大静摩擦力等于地面对斜面体支持力的k倍,为了使整个系统始终
保持静止状态,k值必须满足什么条件?
,细绳CO与竖直方向成30°角,A、B两物体用跨过滑轮的细绳相连,已知物体B所受
到的重力为100N,地面对物体B的支持力为80N,试求:⑴物体A所受到
的重力;⑵物体B与地面间的摩擦力;⑶细绳CO受到的拉力。
,A、B两物体质量相等,B用细绳拉着,绳与倾角θ的斜面平行。A与B,A与斜面间的动
摩擦因数相同,若A沿斜面匀速下滑,求动摩擦因数的值。
,在水平地面上放着两物体,质量分别为M与m,且M>m,它们与地面的动摩擦因数分
别为μ与μ,一轻细线连接A和B。线与水平方向成α角,在物上加一水平力F,使它们做匀速直线运
AB
动,则()
=μ,则α角越大,<μ,则α角越小,F越大
ABAB
=μ,>μ,则α越大,F越大
ABAB
:.

,大小相同的两光滑圆柱体A、B放在倾角为的光滑斜面上,用一块在竖直平面内的
挡板挡住,接触处均光滑,圆柱体的质量均为m,下列说法中正确的是()

、B对斜面的压力大小为mgcos


,两轻环E和D分别套在光滑杆AB和AC上,AB与AC
的夹角为θ,E和D用弹簧连接,一恒力F沿AC方向拉环D,当两环平衡
时,弹簧与AC的夹角为________,弹簧的拉力大小为________。

作匀加速直线运动,加速度为a,则木块与地面之间的滑动摩擦因数
为。若在木块上再施加一个与水平拉力T在同一竖直平面内的推力,而不改变木块速度的大小和
方向,则此推力与水平拉力T的夹角为__________。
=5kg的物体,置于倾角为=37°的的固定斜面上,刚好匀速下滑。现对物体施加一水平
推力F,使物体沿斜面匀速向上运动,求水平推力F的大小。
五、假设法
假设法分析受力的二种方法:
⑴首先假设此力不存在,察看物体会发生怎样的运动,然后再确定此力应在什么
方向,物体才会产生题目给定的运动状态;
⑵假定此力沿某一方向,用牛顿运动定律进行验算,若算得是正值,说明此力与
假定的方向相同,否则相反。
,火车箱中有一倾角为30°的斜面,当火车以10m/s2的加速度沿水
平方向向左运动时,斜面上的物体m还是与车箱相对静止,分析物体m所受的摩擦力的
方向。
解析:m受三个力作用:重力、弹力、摩擦力。而摩擦力的方向难以确定。它可以存
在三种可能:①摩擦力不存在;②摩擦力存在,方向沿斜面向上;③摩擦力存在,方向沿
斜面向下。下面我们可以从以上三个方面去假设。
解法一:假设摩擦力不存在。受力如图所示
此时,重力mg与弹力N在水平方向上只能产生大小F=mgtanθ的合力,加速度为
3
agtan30g,显然小于题目给定加速度,说明合力不足,故斜面对物体的静摩擦力下。
3
解法二:假设摩擦力方向沿斜面向上,物体受力如图,建如图坐标系:由牛顿第二
定律得:
Ncos30fsin30mg
Nsin30fcos30ma
由以上两式可得:f5m(13)N
结果为负值,说明摩擦力的方向与假设的方向相反,应是沿斜面向下
解法三:假设摩擦力方向沿斜面向下,物体受力如图,建如图坐标系,可以根据
Fma
得:
xx
mgsin30fmacos30
可得:f5m(13)N
:.
结果为正值,说明摩擦力的方向与假设的方向
点评:假设法是解物体问题的一种重要的思维方法。一般从某一假设入手,然后运用物理规律得出结
果,再进行适当讨论,从而找出正确答案,这样解题科学严谨、合乎逻辑,而且
可以拓宽思路。
六、解三力平衡的两种思路:力的合成与分解
利用力的合成与分解能解决三力平衡的问题,具体求解时有两种思路:一是
将某力沿另两力的反方向进行分解,将三力转化为四力,构成两对平衡力。二是某
二力进行合成,将三力转化为二力,构成一对平衡力。
,在倾角为θ的斜面上,放一质量为m的光滑小球,球被竖直
的木板挡住,则球对挡板的压力和球对斜面的压力分别是多少?
求解思路一:小球受到重力mg、斜面的支持力N、竖直木板的支持力N的作
12
用。将重力mg沿N、N反方向进行分解,分解为N′、N′,如图所示。由平
1212
衡条件得N=N′=mg/cosθ,
11
N=N′=mgtanθ。
22
根据牛顿第三定律得球对挡板的压力和球对斜面的压力分别mgtanθ、mg/cosθ。
求解思路二:小球受到重力mg、斜面的支持力N、竖直木板的支持力N的作
12
用。将N、N进行合成,其合力F与重力mg是一对平衡力。如图所示。N=mg/cosθ,
121
N=mgtanθ。
2
根据牛顿第三定律得球对挡板的压力和球对斜面的压力分别mgtanθ、mg/cosθ。
1.(1999年全国高考)如图所示重物的质量为m,轻细绳AO和BO的A、B
端是固定的。平衡时AO是水平的,BO与水平面的夹角为θ,AO的拉力F和BO
1
的拉力F的大小是()
2
mg
mgcosmgctgmgsin
1122sin
七、弄清研究平衡物体的临界问题的求解方法。
在高中物理中大量而广泛存在着临界问题。所谓临界问题是指一种物理过程或物理
状态转变为另一种物理过程或物理状态的时候,存在着分界的现象,即所谓的临界状态,
符合这个临界状态的条件即为临界条件。满足临界条件的物理量称为临界值。
解决临界问题的基本思维方法是假设推理法。其基本解题方法有两类:
⑴物理分析法:通过对物理过程的分析,抓住临界条件进行求解。例如两物体脱离的临界条件是相互
压力为零;两物体相对静止到滑动的临界条件是摩擦达到最大静摩擦力。
⑵数学解法:通过对问题的分析,依据物理规律写出物理量之间的函数关系(或画出函数的图象)。
用数学方法求解得出结论后,一定要依据物理原理对解的合理性及物理意义进行讨论或说明。
,轻绳OA、OB一端分别固定于天花板上A、B两点,轻绳OC
一端悬挂一重物G。已知OA、OB、OC能承受的最大拉力分别为150N、100N、
200N。问悬挂的重物的重力不得超过多少?
,不计重力的细绳AB与竖直墙夹角为60º,轻杆BC与竖直墙夹角为30º,杆可
绕C自由转动,若细绳承受的最大拉力为200N,轻杆能承受的最大压力为300N,则在B
点最多能挂多重的物体?
:.
,分别系着物体A和B,物体A放在倾角为θ的斜面上,如图。已知物体A
的质量为m,物体A与斜面间的动摩擦因数为μ(μ<tanθ),滑轮的摩擦不计,
要使物体A静止在斜面上,求物体B的质量取值范围。
,物体重10N,,用一个与水平成45°角的
力F作用在物体上,要使物体A静止于墙上,则F的取值是____________。
,物块置于倾角为θ的斜面上,重为G,与斜面的最大静摩擦力等于滑动摩擦
力,与斜面的动摩擦因数为μ=3/3,用水平外力F推物体,问当斜面的倾角变为多大
时,无论外力怎样增大都不能使物体沿斜面向上运动?
,半径为R的光滑球,重为G,光滑木块厚为h,重为G,用至少多
1
大的水平力F推木块才能使球离开地面?
,物体的质量为2kg,两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上,另一端系于物体上,
在物体上另施加一个方向与水平线成θ=600的拉力F,若要使两绳都能伸直,求拉力F
的大小范围。
八、弄清研究平衡物体的极值问题的两种求解方法。
若题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语,一般都有临界现象出现,都要分析出临界条件。
分析时为了把这个临界现象尽快暴露,一般用极限方法。
求解极值问题有两种方法:
方法1:解析法。根据物体的平衡条件列方程,在解方程时采用数学知识求极值。通常用到数学知识
有二次函数极值、讨论分式极值、三角函数极值以及几何法求极值等。
方法2:图解法。根据物体平衡条件作出力的矢量图,如只受三个力,则这三个力构成封闭矢量三角
形,然后根据图进行动态分析,确定最大值和最小值。
,一人欲用最小的作用力F使木块做匀速运动,
则此最小作用力的大小和方向应如何?
y
分析与解:木块在运动过程中受摩擦力作用,要减小摩擦力,应使作
FF
N
用力F斜向上,设当F斜向上与水平方向的夹角为α时,F的值最小。木
Fα
块受力分析如图所示,由平衡条件知:f
x
Fcosα–μF=0,Fsinα+F–G=0
NN
GG
解上述二式得:F。
cossin
:.
1
sincos
令tanφ=μ,则,
1212
GG
F
可得:FFF
cossin12cos()N1
Fα
fφ
可见当arctan时,F有最小值,即FG/12。
用图解法分析:由于F=μF,故不论F如何改变,F与GG
fNNf
F
F的合力F的方向都不会发生改变,如图所示,合力F与竖直方
N11
向的夹角一定为arctan,可见F、F和G三力平衡,应构成
1
一个封闭三角形,当改变F与水平方向夹角时,F和F的大小都会发生改变,且F与F方向垂直时F的
11
GG
值最小。由几何关系知:F。
minsin
12
,将质量为M的木块,分成质量为m、m两部分,并用细线连接,
12
m置于光滑水平桌面上,m通过定滑轮竖直悬挂,m和m有何种关系才能使系
1212
统在加速运动过程中绳的拉力最大?拉力的最大值是多少?
,半径为r的圆柱体,同置于一块光滑圆弧曲面上,
为了使下面圆柱体不致分开,则圆弧曲面的半径R最大是多少?
九、注意“死节”和“活节”问题。
,长为5m的细绳的两端分别系于竖立在地面上相距为4m的
两杆的顶端A、B,绳上挂一个光滑的轻质挂钩,其下连着一个重为12N的物体,
平衡时,问:
①绳中的张力T为多少?
②A点向上移动少许,重新平衡后,绳与水平面夹角,绳中张力如何变化?
,AO、BO和CO三根绳子能承受的最大拉力相等,O为结点,
OB与竖直方向夹角为θ,悬挂物质量为m。
求:①OA、OB、OC三根绳子拉力的大小。
②A点向上移动少许,重新平衡后,绳中张力如何变化?
分析与解:例6中因为是在绳中挂一个轻质挂钩,所以整个绳子处处张力相同。而
在例7中,OA、OB、OC分别为三根不同的绳所以三根绳子的张力是不相同的。
对于例6分析轻质挂钩的受力如图所示,由平衡条件可知,T、T合力与G等大
12
反向,且T=T。所以Tsinα+Tsinα=T=G
12123
G
即T=T=,而AO·cosα+=CD,所以cosα=
12
2sin
sin=,T=T=10N
12
同样分析可知:A点向上移动少许,重新平衡后,绳与水平面夹角,绳中张力均
保持不变。
而对于例7分析节点O的受力如图所示,由平衡条件可知,T、T合力与G等大
12
反向,但T不等于T,所以
12
:.
T=Tsinθ,G=Tcosθ
122
但A点向上移动少许,重新平衡后,绳OA、OB的张力均要发生变化。
十、注意“死杆”和“活杆”问题。
,质量为m的物体用细绳OC悬挂在支架上的O点,轻杆OB可绕B点转动,求细绳
OA中张力T大小和轻杆OB受力N大小。
,水平横梁一端A插在墙壁内,另一端装有小滑轮B,一轻
绳一端C固定于墙壁上,另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m=10kg的重物,
CBA30,则滑轮受到绳子作用力为:

分析与解:对于例由于悬挂物体质量为m,绳OC拉力大小是mg,将重力沿
杆和OA方向分解,可求Tmg/sinNmgcot。
对于例9若依照例8中方法,则绳子对滑轮Nmgcot1003N,应选
择D项;实际不然,由于杆AB不可转动,是死杆,杆所受弹力的方向不沿杆AB
方向。由于B点处是滑轮,它只是改变绳中力的方向,并未改变力的大小,滑轮
两侧绳上拉力大小均是100N,夹角为120°,故而滑轮受绳子作用力即是其合力,
大小为100N,正确答案是C而不是D。
十一、对称方法及应用
“对称”是指图形或物体对某个点、直线或平面而言,在大小、形状和排