三角形四心与向量.docx

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(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
三角形“四心”向量形式的充要条件应用
知识点总结

ABC的重心
OA
OB
OC
0;
若O是
SBOC
SAOC
SAOB
1SABC
OAOB
OC
0;
ABC的重心,则
3
故
uuur
uuur
uuur
uuur
G为ABC的重心.
PG
1(PA
PB
PC)
3

ABC的垂心
OA
OB
OBOC
OCOA;
若O是
ABC(非直角三角形)的垂心,则SBOC
:
S
:
S
tanA
:
:
AOC
AOB
tanBtanC
故tanAOA
tanBOB
tanCOC
0
2
2
2

ABC的外心
|OA||OB||OC|(或OA
OB
OC
)
若O是
:
:
sin
:
:
ABC的外心则SBOC
SAOCSAOB
BOCsinAOCsinAOBsin2A:sin2B:sin2C
故sin2AOA
sin2BOB
sin2COC
0
OA
(
AB
AC
OB
BA
BC
OC
CA
CB
)0

ABC的充要条件是
)
(
)
(
|AB
|
AC
|BA
|
|BC|
|CA
|
|CB
|
引进单位向量,使条件变得更简洁。若是记
AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3
,则刚才O是
ABC内心的充要条件
可以写成
OA
(e1
e3)
OB(e1
e2)
OC
(e2
e3)
0
,O是
ABC内心的充要条件也可以是
aOA
bOB
cOC
0
。若O是
ABC的内心,则SBOC:SAOC:SAOB
a:b:c
故
aOA
bOB
cOC
0或sinAOA
sinBOB
sinCOC
0;
uuuruuur
uuur
uuur
uuuruuur
r
ABC的内心;
A
|AB|PC
|BC|PA
|CA|PB
0
P是
e1
e2
uuur
uuur
向量
AB
AC
)(
0)所在直线过
ABC的内心(是
BAC
的角均分线所在直
B
C
(uuur
uuur
|AB|
|AC|
线);
P
范
例
(一)将平面向量与三角形内心结合观察
,A,B,C是平面上不共线的三个点,
动点P满足OP
OA
(AB
AC),
0,则
AB
AC
P点的轨迹必然经过
ABC的(
)
(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心
AB
uuur
uuur
uuur
又OP
OA
AP,则原
解析:因为
是向量AB的单位向量设
AB与AC方向上的单位向量分别为e1和e2,
AB
-1-
(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
式可化为AP
(e1
e2),由菱形的基本性质知AP均分
BAC,那么在
ABC中,AP均分
BAC,则知选B.
(二)将平面向量与三角形垂心结合观察“垂心定理”
例2.
H是△ABC所在平面内任一点,
HAHB
HBHC
HCHA
点H是△ABC的垂心.
由HA
HB
HB
HC
HB(HCHA)0
HBAC
0HB
AC,
同理HC
AB,HA
△ABC的垂心.(反之亦然(证略))
例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点,若PAPB
PB
PC
PC
PA,则P是△ABC的(D
)




解析:由PAPB
PBPC得PAPB
PBPC
(PA
PC)0,即PBCA
0
则PB
CA,同理PA
BC,PC
.
(三)将平面向量与三角形重心结合观察“重心定理”
例4.
G是△ABC所在平面内一点,
GAGB
GC=0
点G是△ABC的重心.
证明
作图如右,图中
GBGC
GE
连结BE和CE,则CE=GB,BE=GC
BGCE为平行四边形
D是BC的中点,AD为BC边上的中线.
将GB
GC
GE代入GAGB
GC
=0,
得GA
EG=0
GA
GE
2GD
,故G是△ABC的重心.(反之亦然(证略))
(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
△△ABC的重心

1
PG(PAPBPC).
(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
证明PGPAAGPBBGPCCG3PG(AGBGCG)(PAPBPC)
∵G是△ABC的重心
∴GA
GB
GC=0
AG
BGCG=0,即3PGPAPB
PC
由此可得PG
1(PA
PB
PC).(反之亦然(证略))
3
例6若O为
uuur
uuur
uuur
r
ABC的(
ABC内一点,OA
OB
OC
0,则O是
)

uuur
uuur
uuur
ruuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
解析:由OA
OB
OC
0得OB
OC
OA,如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形,则
OB
OC
OD,由
uuur
1
uuur
2OE,同理可证其他两边上的这个性质,所以是重心,选
D。
平行四边形性质知OE
2
OD,OA
(四)将平面向量与三角形外心结合观察
例7若O为
uuur
uuur
uuur
ABC的(
ABC内一点,OA
OB
OC,则O是
)
-2-
(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量

解析:由向量模的定义知O到ABC的三极点距离相等。故O是ABC的外心,选B。
(五)将平面向量与三角形四心结合观察
,OP2,OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0,|OP1|=|OP2|=|OP3|=1,
求证△P1P2P3是正三角形.(《数学》第一册(下),复****参照题五B组第6题)
证明
由已知OP1+OP2=-OP3
,两边平方得OP1·OP2=
1
,
2
OP2·OP3=OP3·OP1
1
同理
=,
2
|P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=3,从而△P1P2P3是正三角形.
反之,若点O是正三角形△P1P2P3的中心,则显然有OP+OP
+OP=0且|OP|=|OP
2
|=|OP|.
1
2
3
1
3
即O是△ABC所在平面内一点,
OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|
点O是正△P1P2P3的中心.
△ABC中,已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证:
Q、G、H三点共线,且QG:GH=1:2。
【证明】:以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立以以以下列图的直角坐标系。设
A(0,0)
、B(x1,0)、C(x2,y2),D、E、F分别
为AB、BC、AC的中点,则有:
(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
D(x1
,0)、E(x1x2
2
2
G(x1
uuuur
x2,y2)AH
3
3
uuur
BC
(x2
x1,y2)

y2
、
x2
y2
x1
,
,
)
Q(
,y3)、H(x2,y4)
)F(,
由题设可设
2
2
2
2
uuur
x2
x1
,
y2
y3)
y
,
(x2,y4)QF(
2
2
2
C(x2,y2)
(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
uuuur
uuur
F
H
QAH
BC
E
uuuur
uuur
G
AH?BCx2(x2
x1)y2y4
0
y4
x2(x2
x1)
Q
x
y2
A
D
1
uuur
uuuur
B(x,0)
QQF
AC
uuur
uuuur
(x2
x1)y2(y2
QF?AC
x2
y3)0
2
2
2
y3
x2(x2
x1)
y2
2y2
2
uuuur
x1,y4
(2x2
x1,
3x2(x2
x1)y2)
QH
(x2
y3)
2
2
2y2
2
uuur
x1,y2
y3)(2x2
x1,y2
x2(x2x1)y2)
QG(x2
x1
3
2
3
6
3
2y2
2
(2x2
x1,3x2(x2
x1)y2)
1(2x2
2
x1,3x2(x2
x1)y2)
6
6y2
6
3
2y2
2
1QHuuuur
3
(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
-3-
(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
uuuuruuur
即QH=3QG,故Q、G、H三点共线,且QG:GH=1:2
△
OHOA
OBOC
.
、
证明
若△ABC的垂心为H,外心为O,如图.
连BO并延长交外接圆于D,连结AD,CD.
∴AD
AB,,AH
BC,CH
AB,
AH∥CD,CH∥AD,
∴四边形AHCD为平行四边形,
∴AH
DC
DOOC,故OH
OAAH
OA
OB
OC.
出名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的地址关系:
(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”
;
(2)三角形的重心在“欧拉线”上,且为外——垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距离是重心到外心距离的
2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单,可简化成以下的向量问题
.
、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.
求证OG
1OH
3
证明
按重心定理
G是△ABC的重心
OG
1(OA
OB
OC)
3
按垂心定理
OH
OAOBOC
由此可得
OG
1OH.
3
补充练****br/>、B、C是平面上不共线的三点,
O是三角形ABC的重心,动点P满足
OP=
1
(
1OA+
1OB+2OC),则点P必然为三角形ABC的
(B
)
3
2
2

(非重心)


1
1OA+
1OB
1.
B取AB边的中点M,则OAOB
2OM,由OP
=
(
+2OC)可得3OP
3OM
2MC,
3
2
2
∴MP
2MC,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三均分点,且点
P但是重心,应选B.
uuuuuur
3
uuuuur
uuuuuur
uuuuuur
uuuuur
uuuuuur
ABC
2
2
OB
2
2
2
AB
2

及一点O满足关系式:
OA
+
BC
=
+
CA
=
OC
+
,则O为ABC
的
(
D
)
A
外心
B
内心
C重心
D
垂心
uuur
uuur
uuur
0,则
ABC的
△ABC的三个极点A、B、C及平面内一点P
满足:PA
PB
PC
P为
(
C
)
A
外心
B
内心
C重心
D
垂心

定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点
P满足:
OP
OA
(AB
AC),则P的轨迹必然经过△ABC的
(
C
)
A
外心
B
内心
C重心
D
垂心
△ABC,P为三角形所在平面上的动点,且动点
P满足:
(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
-4-
(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
uuur
uuur
uuur
uuur
uuuruuur
0,则P点为三角形的
PA?PCPA?PB
PB?PC
(
D
)
A
外心
B
内心
C重心
D
垂心
P满足:a
uuur
uuur
uuur
△ABC,P为三角形所在平面上的
一点,且点
PA
bPB
c?PC0,则P点为三角形的
(
B
)
A
外心
B
内心
C重心
D
垂心
2
CB
2

中,动点
P满足:CA
2AB?CP,则
P点轨迹必定经过△ABC的:
B)
A外心
B
内心
C重心
D
垂心
→
→
→
→
→
→
→
+
AC
AB
·
AC
=
1
,则△ABC为( )
(AB
)·BC=0且
→
→
→
→
2
|AB|
|AC|
|AB|
|AC|




(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
uuur
uuur
解析:非零向量与满足
AB
AC
(uuur
uuur
|AB|
|AC|

uuur
uuur
)·=0,即角A的均分线垂直于
AB
AC
=
1
,∠A=
,
BC,∴AB=AC,又cosAuuur
uuur
2
|AB|
|AC|
3
(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
7/7
(圆满版)三角形四心与向量
所以△ABC为等边三角形,选D.
,两条边上的高的交点为H,OHm(OAOBOC),则实数m=1
,满足OAOBOBOCOCOA,则点O是ABC的(B)
(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
(A)三个内角的角均分线的交点(B)三条边的垂直均分线的交点
(C)三条中线的交点(D)三条高的交点
,已知点G是ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且

uuuuvuuuv
AMxAB,
(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
7/7
(圆满版)三角形四心与向量
uuuv
uuuv
1
1
3。
AN
yAC,则
x
y
(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
ABC
uuuv
uuuv
uuuv
O
证
点G是
的重心,知
GA
GB
GC
,
uuuv
uuuv
uuuv
uuuv
uuuv
uuuv
1
uuuv
uuuv
得AG
(AB
AG)
(AC
AG)
O,有AG
3
(AB
AC)
uuuv
uuuuv
uuuv
,
1),
于是存在
,使得AG
AM
AN(且
uuuv
uuuv
uuuv
1
uuuv
uuuv
有AG
xAB
yAC=
3
(AB
AC),

。又M,N,G三点共线(A不在直线MN上),
(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
1
得
1
,于是得1
1
3。
xy
3
x
y
(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
-5-
(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
例讲三角形中与向量有关的问题
授课目的:1、三角形重心、内心、垂心、外心的看法及简单的三角形形状判断方法
、向量的加法、数量积等性质
、利用向量办理三角形中与向量有关的问题
、数形结合
授课重点:灵便应用向量性质办理三角形中与有关向量的问题
授课难点:针对性地运用向量性质来办理三角形中与向量有关的问题授课过程:
1、课前练****br/>2
2
OC
2
△ABC内的一点,若OA
OB
,则O是△ABC的〔
〕
A、重心
B
、垂心
C
、外心
D
、内心
△ABC中,有命题①AB
AC
BC;②AB
BCCA0;③若AB
AC?ABAC0,则△ABC
为等腰三角形;④若
AB?AC
0,则△ABC为锐角三角形,上述命题中正确的选项是〔
〕
A、①②
B
、①④
C
、②③
D、②③④
2、知识回顾
三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法
向量的有关性质
上述两者间的关系
3、利用向量基本看法解与三角形有关的向量问题
(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
例1、已知△ABC中,有
AB
AC
?BC
0和AB
?AC
1
AB
AC
AB
AC
2

试判断△ABC的形状。
(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
练****1、已知△ABC中,ABa,BCb,B是△ABC中的最大角,若a?b0,试判断△ABC的形状。
4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
222222
(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
例2、已知O是△ABC所在平面内的一点,
满足OA
BC
OBACOCAB
A、重心
B、垂心
C
、外心
D
、内心
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
例3、已知P是△ABC所在平面内的一动点,且点P满足OPOAABAC,0,
ABAC
ABC的〔〕
A、重心B、垂心C、外心D、内心

,则O是△ABC的〔〕
,则动点P必然过△
(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
(圆满版)三角形四心与向量
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(圆满版)三角形四心与向量
练****2、已知O为平面内一点,A、B、C平面上不共线的三点,动点
P满足OPOA
AB
1BC,
0,,
2
则动点P的轨迹必然经过△ABC的〔
〕
A、重心
B、垂心
C
、外心
D、内心
例4、已知O是△ABC所在平面内的一点,动点P满足OP
AB
AC
0,,则动点
OA
,
ABcosB
ACcosC
P必然过△ABC的〔
〕
A、重心
B
、垂心
C、外心D
、内心
练****3、已知O是△ABC所在平面内的一点,动点P满足OP
OBOC
AB
AC
0,,
2
,
ABcosB
ACcosC
则动点P必然过△ABC的〔
〕
A、重心
B、垂心
C、外心D
、内心
例5、已知点G是的重心,过G作直线与AB、AC分别订交于M、N两点,且AMx?AB,ANy?AC,求证:113
xy
6、小结
办理与三角形有关的向量问题时,要允分注意数形结合的运用,关注向量等式中的实数互化,合理地将向量等式和图形进行转变是办理这类问题的重点。
7、作业
1、已知O是△ABC内的一点,若OAOBOC
0,则O是△ABC的〔
〕
A、重心
B
、垂心
C
、外心
D
、内心
2、若△ABC的外接圆的圆心为O,半径为
1,且OA
OB
OC
0,则OA?OB等于〔
〕
A、1
B
、0
C
、1
D
、
1
2
2
3、已知O是△ABC所在平面上的一点,A、B、C、所对的过分别是
ab
、
c
若
a?OAb?OBc?OC0
,则O是△
、
ABC的〔
〕
A、重心
B
、垂心
C
、外心
D
、内心
4、已知P是△ABC所在平面内与
A不重合的一点,满足AB
AC
3AP,则P是△ABC的〔
〕
A、重心
B
、垂心
C
、外心
D
、内心
5、平面上的三个向量
OA、OB、OC满足OA
OB
OC
0,OA
OBOC
1
,求证:△ABC为正三角
形。
6、在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若
AM=2,求OA(OB
OC)
(圆满版)三角形四心与向量
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