浙江新高考数学理科一轮复习创新方案热点题型2.1函数及其表示(含答案详析).docx

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(含答案详析)
(含答案详析)
第一节函数及其表示
考点一
函数的定义域
2x+1
的定义域是( )
[例1]
(1)(2014南·昌模拟)函数f(x)=2x2-x-1
A.
xx
1
B.
xx
1
2
2
C.
xx
1且x1
D.
xx
1且x1
学科王
2
2
(2)已知函数f(x
2-1)的定义域为
[0,3],则函数y=f(x)的定义域为________.
2x+1≥0,
解得x>-1且x≠1.
[自主解答](1)由题意得
2x2-x-1≠0,
2
(2)由于函数f(x2-1)的定义域为[0,3],所以-1≤x2-1≤8,故函数y=f(x)的定义域为[-
1,8].
[答案]
(1)D(2)[-1,8]
【互动研究】
本例(2)改为:f(x)的定义域为
[0,3],求y=f(x2-1)的定义域.
解:由于f(x)的定义域为[0,3],所以0≤x2-1≤3,即1≤x2≤4,解得1≤x≤2或-2≤x≤
1,故函数y=f(x2-1)的定义域为[-2,-1]∪[1,2].
【方法例律】

求函数的定义域,其实质就是以函数分析式所含运算存心义为准则,列出不等式或不等
式组,而后求出它们的解集即可.

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b
求出.
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.
(含答案详析)
(含答案详析)
(含答案详析)
1.(2014·州模拟广)假如函数f(x)=ln(-2x+a)的定义域为(-∞,1),则实数a的值为
( )
A.-2
B.-1


a
a
分析:选D
∵-2x+a>0,∴x<2,∴2=1,∴a=2.
(x)的定义域是
[0,4],则f(x+1)+f(x-1)
分析:由f(x)的定义域为[0,4],得
0≤x+1≤4,
1≤x≤3,即函数
f(x+1)+f(x
解得
0≤x-1≤4,
1)的定义域为[1,3].
答案:[1,3]
学科王学科王
考点二求函数分析式
[例2](1)已知f(2x+1)=4x2+2x+1,求f(x)的分析式;
(2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的分析式;
1
(3)已知f(x)知足2f(x)+fx=3x,求f(x)的分析式.
1
1
t-1
2
+2
1
[自主解答]
(1)令t=2x+1,则x=2
(t-1),所以,f(t)=4
2
×
2(t-1)+1=
(t-1)2+(t-1)+1=t2-t+(x)=x2-x+1.
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由f(0)=0,知c=0,f(x)=ax2+bx.
又f(x+1)=f(x)+x+1,所以a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,
a≠0,
2
2
1
即ax+(2a+b)x+a+b=ax
+(b+1)x+
2a+b=b+1,
所以a=b=2.
a+b=1,
所以f(x)=1
2+1
2x
2x.
1
1
1
3
2fx+fx=3x,
1
(3)由2f(x)+fx
=3x,得2f
x
+f(x)=
1
3
得f(x)=2x-x(x≠0).
2fx
+fx=x,
(含答案详析)
(含答案详析)
(含答案详析)
【方法例律】
求函数分析式的常用方法
(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成对于g(x)的表达式,而后以x替
代g(x),便得f(x)的表达式.
(2)待定系数法:若已知函数的种类(如一次函数、二次函数),则可用待定系数法.
(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的分析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
1
(4)解方程组法:已知对于f(x)与fx或f(-x)的表达式,可依据已知条件再结构出此外
一个等式构成方程组,经过解方程组求出f(x).
求以下两个函数的分析式:
(1)f(x+1)=x+2x;
(2)定义在(-1,1)内,且函数f(x)知足2f(x)-f(-x)=lg(x+1).
解:(1)法一:设t=x+1,则x=(t-1)2(t≥1).
代入原式,有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.
∴f(x)=x2-1(x≥1).
法二:∵x+2x=(x)2+2x+1-1=(x+1)2-1,学科王
∴f(x+1)=(x+1)2-1(x+1≥1),即f(x)=x2-1(x≥1).
(2)当x∈(-1,1)时,有2f(x)-f(-x)=lg(x+1),①
(含答案详析)
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(含答案详析)
以-x取代

x得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).②
(含答案详析)
(含答案详析)
(含答案详析)
由①②消去

f(-x),得

21
f(x)=3lg(x+1)+3lg(1-x),x∈(-1,1).
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高频考点

考点三

分段函数
(含答案详析)
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(含答案详析)
,是高考的命题热门,多以选择题或填空题的形式体现,
试题难度不大,多为简单题或中档题.
:
(1)已知分段函数分析式,求函数值(或最值);
(2)已知分段函数分析式与方程,求参数的值;
(3)已知分段函数分析式,求解不等式;
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(含答案详析)
(4)已知分段函数分析式,判断函数的奇偶性;
(5)新定义运算,分段函数与方程的交汇问题.
x2+1,x≤1,
)
[例3](1)(2012江·西高考)函数f(x)=
则f(f(10))=(
lgx,x>1,




21-x,x≤1,
则知足f(x)≤2
的x的取值范围是
(2)(2014青·岛模拟)设函数f(x)=
1-log2x,x>1,
( )
A.[-1,2]
B.[0,2]
C.[1,+∞)
D.[0,+∞)
2x+a,x<1,
(3)已知实数
a≠0,函数
若f(1-a)=f(1+a),则a的值为
f(x)=-x-2a,x≥1,
________.
[自主解答]
(1)f(10)=lg10=1,f(f(10))=f(1)=12+1=2.
(2)当x≤1时,21-x≤2,解得x≥0,又由于x≤1,所以0≤x≤1;
1
当x>1时,1-log2x≤2,解得x≥2,又由于x>1,所以x>
故x的取值范围是[0,+∞).
(3)①当1-a<1,即a>0时,1+a>1,由f(1-a)=f(1+a),得2(1-a)+a=-(1+a)
3
-2a,解得a=-2(舍去);
②当1-a>1,即a<0时,1+a<1,由f(1-a)=f(1+a),
3
得2(1+a)+a=-(1-a)-2a,解得a=-4,切合题意.
3
综上所述,a=-4.
3
[答案](1)B(2)D(3)-4
分段函数问题的常有种类及解题策略
(1),而后辈入对应的分析式,求“层层套”的函数值,
要从最内层逐层往外计算.
(2),而后比较大小.
(含答案详析)
(含答案详析)
(含答案详析)
(3),代入相应的分析式求解,但要
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注意取值范围的大前提.
(4)求参数.“分段办理”,采纳代入法列出各区间上的方程.
(5)(偶函数)的定义判断.
a×b,a×b≥0,
1
1.(2014南·平模拟)定义a
b=a
设函数f(x)=lnx
x,则f(2)+f
,a×b<0.
2
b
=( )

B.-4ln2


xlnx,x≥1,
1
1
分析:选D
由题意可得f(x)=lnx
所以f(2)+f
2=2ln
2+2ln2=0.
x,0<x<1
,
1,x∈Q,
x
-1
e
2.(2014永·州模拟)设Q为有理数集,函数
f(x)=-1,x∈?RQ,g(x)=ex
,则函
+1
数h(x)=f(x)·g(x)(
)




分析:选A当x∈Q时,-x∈Q,∴f(-x)=f(x)=1;当x∈?RQ时,-x∈?RQ,∴f(-x)
=f(x)=-,对?x∈R,都有f(-x)=f(x),故函数f(x)为偶函数.
∵g(-x)=
e-x-1
1-ex
ex-1
=
=-
=-g(x),∴函数g(x)为奇函数,
e-x+1
1+ex
1+ex
∴h(-x)=f(-x)·g(-x)=f(x)·(-g(x))=-f(x)g(x)=-h(x),
∴函数h(x)=f(x)·g(x)是奇函数.
又由于h(1)=f(1)g(1)·=
e-1
e-1-1
1-e
,h(-1)=f(-1)·g(-1)=1×
=
,∴h(-1)≠h(1),
e+1
e-1+1
1+e
∴函数h(x)不是偶函数.
(含答案详析)
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综上可知,h(x)是奇函数但不是偶函数.
(含答案详析)
(含答案详析)
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3.(2014日·照模拟)已知函数f(x)=2
x-
1x,且g(x)=
fx,x≥0,
则函数g(x)的最小
2
f-x,x<0,
值是________.
x
1
2
-x
分析:由于g(x)=
2,x≥0,
所以函数g(x)在(0,+∞)上单一递加,在(-∞,
2-x-1
,x<0,
2-x
0
1
0)上单一递减,故函数
g(x)的最小值为
g(0)=2-
20=0.
答案:0
———————————[讲堂概括——通法意会]———————————
4个准则——函数表达式存心义的准则
函数表达式存心义的准则一般有:(1)分式中的分母不为0;(2)偶次根式的被开方数非
负;(3)y=x0要求x≠0;(4)对数式中的真数大于0,底数大于0且不等于1.
4种方法——函数分析式的求法
求函数分析式常用的方法有:(1)配凑法;(2)待定系数法;(3)换元法;(4)
体内容见例2[方法例律].
4个注意点——求函数定义域应注意的问题
(1)假如没有特别说明,函数的定义域就是能使分析式存心义的全部实数x的会合.
(2)不要对分析式进行化简变形,免得定义域发生变化.
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使
得各式子都存心义的公共部分的会合.
(4)定义域是一个会合,要用会合或区间表示,若用区间表示数集,不可以用“或”连结,
而应当用并集符号“∪”连结.
(含答案详析)
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